論文の概要: FI-KAN: Fractal Interpolation Kolmogorov-Arnold Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.28288v1
• Date: Mon, 30 Mar 2026 11:09:07 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-31 23:18:45.351194
• Title: FI-KAN: Fractal Interpolation Kolmogorov-Arnold Networks
• Title（参考訳）: FI-KAN: Fractal Interpolation Kolmogorov-Arnold Networks
• Abstract要約: Kolmogorov-Arnold Networks (KAN) は、固定格子上のB-スプラインベースを使用し、非滑らか関数近似に固有のマルチスケール分解を提供しない。 本稿では,反復関数系 (IFS) 理論から学習可能なフラクタル関数 (FIF) 基底を包含するフラクタル補間カン (FI-KAN) について紹介する。 Pure FI-KANはB-splineを完全にFIFベースに置き換え、Hybrid FI-KANはB-splineパスを保持し、学習可能なフラクタル補正を追加する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Kolmogorov-Arnold Networks (KAN) employ B-spline bases on a fixed grid, providing no intrinsic multi-scale decomposition for non-smooth function approximation. We introduce Fractal Interpolation KAN (FI-KAN), which incorporates learnable fractal interpolation function (FIF) bases from iterated function system (IFS) theory into KAN. Two variants are presented: Pure FI-KAN (Barnsley, 1986) replaces B-splines entirely with FIF bases; Hybrid FI-KAN (Navascues, 2005) retains the B-spline path and adds a learnable fractal correction. The IFS contraction parameters give each edge a differentiable fractal dimension that adapts to target regularity during training. On a Holder regularity benchmark ($α\in [0.2, 2.0]$), Hybrid FI-KAN outperforms KAN at every regularity level (1.3x to 33x). On fractal targets, FI-KAN achieves up to 6.3x MSE reduction over KAN, maintaining 4.7x advantage at 5 dB SNR. On non-smooth PDE solutions (scikit-fem), Hybrid FI-KAN achieves up to 79x improvement on rough-coefficient diffusion and 3.5x on L-shaped domain corner singularities. Pure FI-KAN's complementary behavior, dominating on rough targets while underperforming on smooth ones, provides controlled evidence that basis geometry must match target regularity. A fractal dimension regularizer provides interpretable complexity control whose learned values recover the true fractal dimension of each target. These results establish regularity-matched basis design as a principled strategy for neural function approximation.
• Abstract（参考訳）: Kolmogorov-Arnold Networks (KAN) は、固定格子上のB-スプラインベースを使用し、非滑らか関数近似に固有のマルチスケール分解を提供しない。 本稿では,反復関数系(IFS)理論から学習可能なフラクタル補間関数(FIF)に基づくフラクタル補間カン(FI-KAN)について紹介する。 Pure FI-KAN (Barnsley, 1986) は B-splines を完全に FIF ベースに置き換え、Hybrid FI-KAN (Navascues, 2005) は B-spline パスを保持し、学習可能なフラクタル補正を追加する。 IFS収縮パラメータは、訓練中にターゲットの規則性に適応する、それぞれのエッジに微分可能なフラクタル次元を与える。 ホルダー正則性ベンチマーク(α\in [0.2, 2.0]$)では、ハイブリッドFI-KANは、すべての正則性レベル(1.3xから33x)でカンを上回っている。 フラクタルターゲットでは、FI-KANはKanよりも最大6.3倍のMSE削減を実現し、5dB SNRで4.7倍の優位性を維持する。 非滑らかなPDE解 (scikit-fem) では、ハイブリットFI-KANはラッド係数拡散の最大79倍の改善とL字型領域角特異点の3.5倍を実現している。 純粋なFI-KANの相補的な振る舞いは、粗い目標に支配的であり、滑らかな目標に過小評価され、基底幾何学が目標の正則性と一致しなければならないという制御された証拠を与える。 フラクタル次元正規化器は、学習した値が各ターゲットの真のフラクタル次元を回復する解釈可能な複雑性制御を提供する。 これらの結果は、ニューラルネットワーク近似の原則的戦略として、規則性に整合した基礎設計を確立する。

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