論文の概要: The Conjugate Domain Dichotomy: Exact Risk of M-Estimators under Infinite-Variance Noise in High Dimensions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.28359v1
• Date: Mon, 30 Mar 2026 12:26:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-31 23:18:45.386174
• Title: The Conjugate Domain Dichotomy: Exact Risk of M-Estimators under Infinite-Variance Noise in High Dimensions
• Title（参考訳）: 共役領域分割:高次元の無限可変雑音下でのM-エミュレータの実行リスク
• Authors: Charalampos Agiropoulos,
• Abstract要約: 雑音分布が無限分散である場合の比例状態におけるM推定について検討する。 1,2 の指数 α の周期的に変化するテールを持つ雑音に対して、正規化 M-推定器の挙動は損失関数の1つの幾何学的性質によって制御されることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper studies high-dimensional M-estimation in the proportional asymptotic regime (p/n -> gamma > 0) when the noise distribution has infinite variance. For noise with regularly-varying tails of index alpha in (1,2), we establish that the asymptotic behavior of a regularized M-estimator is governed by a single geometric property of the loss function: the boundedness of the domain of its Fenchel conjugate. When this conjugate domain is bounded -- as is the case for the Huber, absolute-value, and quantile loss functions -- the dual variable in the min-max formulation of the estimator is confined, the effective noise reduces to the finite first absolute moment of the noise distribution, and the estimator achieves bounded risk without recourse to external information. When the conjugate domain is unbounded -- as for the squared loss -- the dual variable scales with the noise, the effective noise involves the diverging second moment, and bounded risk can be achieved only through transfer regularization toward an external prior. For the squared-loss class specifically, we derive the exact asymptotic risk via the Convex Gaussian Minimax Theorem under a noise-adapted regularization scaling. The resulting risk converges to a universal floor that is independent of the regularizer, yielding a loss-risk trichotomy: squared-loss estimators without transfer diverge; Huber-loss estimators achieve bounded but non-vanishing risk; transfer-regularized estimators attain the floor.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、雑音分布が無限分散である場合の比例漸近状態(p/n->ガンマ>0)における高次元M推定について検討する。 1,2) で周期的に変化する指数 α の尾を持つ雑音に対して、正規化 M-推定器の漸近挙動は損失関数の単一の幾何学的性質(フェンシェル共役の領域の有界性)によって支配されることを示す。 この共役領域が有界であるとき -- フーバー、絶対値、量子的損失関数の場合と同様に -- 推定器のmin-max定式化における双対変数は制限され、有効雑音は雑音分布の有限第1の絶対モーメントに減少し、推定器は外部情報に関係なく有界リスクを達成する。 共役領域が(二乗損失のように)非有界であるとき、二重変数はノイズとともにスケールし、実効雑音は第2モーメントの発散を伴う。 特に2乗剰余類については、雑音適応正則化スケーリングの下で、凸ガウス極小定理を介して正確な漸近リスクを導出する。 結果として生じるリスクは、正規化器とは独立な普遍的なフロアに収束し、損失リスク三分法(英語版)をもたらす。

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