論文の概要: Yau's Affine Normal Descent: Algorithmic Framework and Convergence Analysis

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.28448v2
• Date: Fri, 03 Apr 2026 01:05:10 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-06 12:42:34.081596
• Title: Yau's Affine Normal Descent: Algorithmic Framework and Convergence Analysis
• Title（参考訳）: Yau's Affine normal Descent: Algorithmic Framework and Convergence Analysis
• Authors: Yi-Shuai Niu, Artan Sheshmani, Shing-Tung Yau,
• Abstract要約: Yau's Affine Normal Descent (YAND) はスムーズな非制約最適化のための幾何学的フレームワークである。 アフィン正規方向は、アフィンスケーリングの下では頑健であり、任意に不規則な変換には敏感であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.30222726571099656
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We propose Yau's Affine Normal Descent (YAND), a geometric framework for smooth unconstrained optimization in which search directions are defined by the equi-affine normal of level-set hypersurfaces. The resulting directions are invariant under volume-preserving affine transformations and intrinsically adapt to anisotropic curvature. Using the analytic representation of the affine normal from affine differential geometry, we establish its equivalence with the classical slice-centroid construction under convexity. For strictly convex quadratic objectives, affine-normal directions are collinear with Newton directions, implying one-step convergence under exact line search. For general smooth (possibly nonconvex) objectives, we characterize precisely when affine-normal directions yield strict descent and develop a line-search-based YAND. We establish global convergence under standard smoothness assumptions, linear convergence under strong convexity and Polyak-Lojasiewicz conditions, and quadratic local convergence near nondegenerate minimizers. We further show that affine-normal directions are robust under affine scalings, remaining insensitive to arbitrarily ill-conditioned transformations. Numerical experiments illustrate the geometric behavior of the method and its robustness under strong anisotropic scaling.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,Yau's Affine Normal Descent (YAND)を提案する。 結果として得られる方向は体積保存アフィン変換の下で不変であり、本質的に異方性曲率に適応する。 アフィン微分幾何からアフィンノルムの解析的表現を用いて、凸性の下での古典的なスライスセントロイド構成と等価性を確立する。 厳密な凸二次目的に対して、アフィン正規方向はニュートン方向とコリニアであり、正確な直線探索の下での一段階収束を意味する。 一般の滑らかな(おそらく非凸な)目的に対して、アフィン正規方向が厳格な降下をもたらすと正確に特徴付け、線探索に基づくYANDを開発する。 我々は、標準の滑らか性仮定、強い凸性およびポリアック・ロジャシエヴィチ条件下での線形収束、非退化最小値近傍の二次局所収束の下で、大域収束を確立する。 さらに、アフィン正規方向はアフィンスケーリングの下で頑健であり、任意条件の変換には敏感であることを示す。 数値実験は、強い異方性スケーリングの下での手法の幾何学的挙動とその頑健さを例証する。

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