論文の概要: Symmetrizing Bregman Divergence on the Cone of Positive Definite Matrices: Which Mean to Use and Why

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.28917v1
• Date: Mon, 30 Mar 2026 18:48:50 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-01 15:25:02.673698
• Title: Symmetrizing Bregman Divergence on the Cone of Positive Definite Matrices: Which Mean to Use and Why
• Title（参考訳）: 正定行列の錐体におけるブレグマンの多様性のシンメトリゼーション : 使用方法と理由
• Authors: Tushar Sial, Abhishek Halder,
• Abstract要約: 平均汎関数の集合上での所望の対称性分岐を最小化することにより、対称性化の正準手段を計算できることが示される。 この結果を実際に用いられる3つの共通ミラーマップに適用すると、逆対称性化の正準手段が算術、対数ユークリッド、調和手段であることが分かる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.15469452301122175
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This work uncovers variational principles behind symmetrizing the Bregman divergences induced by generic mirror maps over the cone of positive definite matrices. We show that computing the canonical means for this symmetrization can be posed as minimizing the desired symmetrized divergences over a set of mean functionals defined axiomatically to satisfy certain properties. For the forward symmetrization, we prove that the arithmetic mean over the primal space is canonical for any mirror map over the positive definite cone. For the reverse symmetrization, we show that the canonical mean is the arithmetic mean over the dual space, pulled back to the primal space. Applying this result to three common mirror maps used in practice, we show that the canonical means for reverse symmetrization, in those cases, turn out to be the arithmetic, log-Euclidean and harmonic means. Our results improve understanding of existing symmetrization practices in the literature, and can be seen as a navigational chart to help decide which mean to use when.
• Abstract（参考訳）: この研究は、正定値行列の円錐上のジェネリックミラー写像によって誘導されるブレグマン発散の対称性の背景にある変動原理を明らかにする。 この対称性化のための正規化手段の計算は、ある性質を満たすために公理的に定義された平均汎函数の集合上で、所望の対称性化発散を最小限に抑えることができることを示す。 前方対称性について、原始空間上の算術平均が正定円錐上の任意のミラー写像に対して正則であることを証明する。 逆対称性について、正準平均は双対空間上の算術平均であり、原始空間に引き戻されることを示す。 この結果を実際に用いられる3つの共通ミラーマップに適用すると、逆対称性化の正準手段が算術、対数ユークリッド、調和手段であることが分かる。 その結果,文献における既存の対称性の実践の理解が向上し,どちらをいつ使うかを決定するためのナビゲーションチャートとして見ることができる。

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