論文の概要: On Higher-Order Geometric Refinements of Classical Covariance Asymptotics: An Approach via Intrinsic and Extrinsic Information Geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.12725v1
• Date: Tue, 14 Apr 2026 13:40:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-15 19:11:32.463354
• Title: On Higher-Order Geometric Refinements of Classical Covariance Asymptotics: An Approach via Intrinsic and Extrinsic Information Geometry
• Title（参考訳）: 古典的共分散漸近の高次幾何学的再定義について:内在的・外在的情報幾何学によるアプローチ
• Authors: Malik Amir, Sourangshu Ghosh,
• Abstract要約: 混合、曲線指数族、潜在変数モデル、多様体-ルートパラメータ空間を含む曲線モデルでは、有限サンプルの振る舞いは予測から体系的に逸脱することができる。 我々は、正規パラメトリック族をフィッシャー制約ラオ計量の((,g))として見ることにより、座標不変な曲率対応の洗練を開発する。 本稿では,学習速度と後進平均二乗誤差における実対数正準しきい値の役割,および正規理論を特殊ケースとして回復する解空間上の曲率に基づく共分散展開について述べる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Classical Fisher-information asymptotics describe the covariance of regular efficient estimators through the local quadratic approximation of the log-likelihood, and thus capture first-order geometry only. In curved models, including mixtures, curved exponential families, latent-variable models, and manifold-constrained parameter spaces, finite-sample behavior can deviate systematically from these predictions. We develop a coordinate-invariant, curvature-aware refinement by viewing a regular parametric family as a Riemannian manifold \((Θ,g)\) with Fisher--Rao metric, immersed in \(L^2(μ)\) through the square-root density map. Under suitable regularity and moment assumptions, we derive an \(n^{-2}\) correction to the leading \(n^{-1}I(θ)^{-1}\) covariance term for score-root, first-order efficient estimators. The correction is governed by a tensor \(P_{ij}\) that decomposes canonically into three parts, an intrinsic Ricci-type contraction of the Fisher--Rao curvature tensor, an extrinsic Gram-type contraction of the second fundamental form, and a Hellinger discrepancy tensor encoding higher-order probabilistic information not determined by immersion geometry alone. The extrinsic term is positive semidefinite, the full correction is invariant under smooth reparameterization, and it vanishes identically for full exponential families. We then extend the picture to singular models, where Fisher information degenerates. Using resolution of singularities under an additive normal crossing assumption, we describe the resolved metric, the role of the real log canonical threshold in learning rates and posterior mean-squared error, and a curvature-based covariance expansion on the resolved space that recovers the regular theory as a special case. This framework also suggests geometric diagnostics of weak identifiability and curvature-aware principles for regularization and optimization.
• Abstract（参考訳）: 古典的なフィッシャー情報漸近は、ログのような局所的な二次近似を通して、正規効率な推定子の共分散を記述し、従って一階幾何学のみをキャプチャする。 混合、曲線指数族、潜在変数モデル、多様体制約パラメータ空間を含む曲線モデルでは、有限サンプルの振る舞いはこれらの予測から体系的に逸脱することができる。 我々は、正則パラメトリック族をフィッシャー-ラオ計量(英語版)(Fisher-Rao metric)を持つリーマン多様体(英語版)(Riemannian manifold) \(),g)\)として、平方根密度写像を通して \(L^2(μ)\) に浸漬することにより、座標不変な曲率対応の精製を開発する。 適切な正則性とモーメント仮定の下では、スコアルート 1次効率的な推定器の先頭の \(n^{-1}I(θ)^{-1}\) 共分散項に対する \(n^{-2}\) 補正を導出する。 補正は、カノン的に分解するテンソル \(P_{ij}\) と、フィッシャー・ラオ曲率テンソルの内在的リッチ型縮約、第二基本形の外在的グラム型縮約、および浸漬幾何学だけでは決定されない高次確率情報を符号化するヘリンガー離散テンソルの3つの部分に分けられる。 外部項は正半定値であり、全補正は滑らかな再パラメータ化の下で不変であり、全指数族に対して同値に消える。 次に、図を特異なモデルに拡張し、フィッシャー情報が縮退する。 加法的正規交叉仮定の下で特異点の分解を用いて、解答計量、学習率と後進平均二乗誤差における実対数正準しきい値の役割、および正規理論を特殊ケースとして回復する分解空間上の曲率に基づく共分散展開について述べる。 このフレームワークはまた、正規化と最適化のための弱い識別可能性と曲率認識原理の幾何学的診断を提案する。

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