論文の概要: An approach to Fisher-Rao metric for infinite dimensional non-parametric information geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.21451v1
• Date: Thu, 25 Dec 2025 00:18:41 GMT
• ステータス: 情報取得中
• システム内更新日: 2025-12-29 11:56:33.713449
• Title: An approach to Fisher-Rao metric for infinite dimensional non-parametric information geometry
• Title（参考訳）: 無限次元非パラメトリック情報幾何学のためのフィッシャー・ラオ計量へのアプローチ
• Authors: Bing Cheng, Howell Tong,
• Abstract要約: 無限次元であることから、非パラメトリックな情報幾何学は長い間「難易度障壁」に直面してきた。 本稿では,タンジェント空間の直交分解による難易度解決のための新しい枠組みを提案する。 情報キャプチャ比を定義することにより,高次元データの内在次元を推定する厳密な手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6138671548064355
• License:
• Abstract: Being infinite dimensional, non-parametric information geometry has long faced an "intractability barrier" due to the fact that the Fisher-Rao metric is now a functional incurring difficulties in defining its inverse. This paper introduces a novel framework to resolve the intractability with an Orthogonal Decomposition of the Tangent Space ($T_fM=S \oplus S^{\perp}$), where S represents an observable covariate subspace. Through the decomposition, we derive the Covariate Fisher Information Matrix (cFIM), denoted as $G_f$, which is a finite-dimensional and computable representative of information extractable from the manifold's geometry. Indeed, by proving the Trace Theorem: $H_G(f)=\text{Tr}(G_f)$, we establish a rigorous foundation for the G-entropy previously introduced by us, thereby identifying it not merely as a gradient-based regularizer, but also as a fundamental geometric invariant representing the total explainable statistical information captured by the probability distribution associated with the model. Furthermore, we establish a link between $G_f$ and the second-order derivative (i.e. the curvature) of the KL-divergence, leading to the notion of Covariate Cramér-Rao Lower Bound(CRLB). We demonstrate that $G_f$ is congruent to the Efficient Fisher Information Matrix, thereby providing fundamental limits of variance for semi-parametric estimators. Finally, we apply our geometric framework to the Manifold Hypothesis, lifting the latter from a heuristic assumption into a testable condition of rank-deficiency within the cFIM. By defining the Information Capture Ratio, we provide a rigorous method for estimating intrinsic dimensionality in high-dimensional data. In short, our work bridges the gap between abstract information geometry and the demand of explainable AI, by providing a tractable path for revealing the statistical coverage and the efficiency of non-parametric models.
• Abstract（参考訳）: 無限次元であることから、非パラメトリックな情報幾何学は、フィッシャー・ラオ計量がその逆を定義するのに機能的な帰納的困難であるという事実から、長い間「難易度障壁」に直面してきた。 本稿では, タンジェント空間の直交分解(T_fM=S \oplus S^{\perp}$)を用いて, S が可観測共変部分空間を表すという, 難解性を解決する新しい枠組みを提案する。 この分解を通じて、多様体の幾何から抽出可能な情報の有限次元および計算可能な代表である$G_f$と表される共変量漁業情報行列(cFIM)を導出する。 実際、トレース定理の証明により、$H_G(f)=\text{Tr}(G_f)$ は、我々が以前に導入したG-エントロピーの厳密な基礎を確立し、単に勾配ベースの正規化子としてだけでなく、モデルに関連する確率分布によって得られた総説明可能な統計情報を表す基本的な幾何学的不変量として同定する。 さらに、KL-発散の2階微分(すなわち曲率)と$G_f$の関係を確立し、コバリケート・クラメール・ラオ下界(CRLB)の概念を導いた。 我々は、$G_f$が効率的な漁業情報行列と一致していることを示し、半パラメトリック推定器の分散の基本的な限界を与える。 最後に、我々の幾何学的枠組みをマニフォールド仮説に適用し、後者をヒューリスティックな仮定から、cFIM内のランク欠陥の証明可能な条件へと持ち上げる。 情報キャプチャ比を定義することにより,高次元データの内在次元を推定する厳密な手法を提案する。 要約すると、我々の研究は、統計的カバレッジと非パラメトリックモデルの効率を明らかにするためのトラクタブルパスを提供することで、抽象情報幾何学と説明可能なAIの需要のギャップを埋める。

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