論文の概要: Constraints on phantom codes from automorphism group bounds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.15111v1
• Date: Thu, 16 Apr 2026 15:04:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-17 21:29:31.968641
• Title: Constraints on phantom codes from automorphism group bounds
• Title（参考訳）: 自己同型群境界からのファントム符号の制約
• Authors: Arthur S. Morris, Daniel Malz,
• Abstract要約: 論理量子回路のフォールトトレラントな実行は、大きな時空オーバーヘッドを引き起こす。 最近の研究は、ブロック内の全ての$mathrmCNOT$回路を物理的置換で実装できるという特性によって定義されるファントム符号を提案し、研究している。 ここでは、ファントム性はエンコーディング率の低下によるものであることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Executing a logical quantum circuit fault-tolerantly incurs a large spacetime overhead. Recent work has proposed and investigated phantom codes, defined by the property that every in-block logical $\mathrm{CNOT}$ circuit can be implemented with a physical permutation, a property that has the potential to greatly reduce the depth of compiled circuits. Here we show that phantomness comes at the cost of low encoding rate. Specifically, we prove that any binary phantom code encoding $k$ logical qubits into $n$ physical qubits with distance $d\geq 2$ obeys the bound $k\leq \log_2(n+1)$ for all $k\neq 4$. For $k=4$ we explicitly construct a nonstabiliser $(\!(8, 2^4, 2)\!)$ phantom code that violates the bound and has a transversal non-Clifford gate. We further show that, within the class of nontrivial CSS phantom codes with $k\neq 4$, there is a unique family of codes saturating this bound. In addition, we prove that this logarithmic ceiling cannot be circumvented by permitting additional local unitary gates, or by making use of subsystem codes: any subspace or subsystem code admitting a $\mathrm{SWAP}$-transversal implementation of every logical $\mathrm{CNOT}$ circuit is constrained to satisfy the same bound. These bounds follow from a general theorem relating the length of a quantum code to the structure of its automorphism group, a result which may find applications beyond phantom codes.
• Abstract（参考訳）: 論理量子回路のフォールトトレラントな実行は、大きな時空オーバーヘッドを引き起こす。 近年の研究では、すべてのインブロック論理$\mathrm{CNOT}$回路を物理的置換で実装できるという特性によって定義されるファントム符号が提案され研究されている。 ここでは、ファントム性はエンコーディング率の低下によるものであることを示す。 具体的には、$k$論理量子ビットを距離$d\geq 2$で$n$物理量子ビットに符号化する任意のバイナリファントムコードは、すべての$k\neq 4$に対して有界な$k\leq \log_2(n+1)$に従うことを証明している。 k=4$ の場合、非安定化器 $(\! (8, 2^4, 2)\! ) 境界に反し、非クリフォードゲートを持つファントム符号。 さらに、$k\neq 4$の非自明なCSSファントムコードのクラスには、この境界を飽和させるユニークな種類のコードが存在することを示す。 さらに、この対数天井は、局所的なユニタリゲートの追加を許可したり、サブシステムコードを使用することで回避できないことを証明する:$\mathrm{SWAP}$-transversal implementation of every logical $\mathrm{CNOT}$ circuit is constrained to satisfy the same bound。 これらの境界は、量子符号の長さと自己同型群の構造に関する一般的な定理から導かれる。

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