論文の概要: Fun with Flags: Robust Principal Directions via Flag Manifolds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.04071v4
- Date: Sun, 4 Aug 2024 05:21:19 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-06 23:55:54.562171
- Title: Fun with Flags: Robust Principal Directions via Flag Manifolds
- Title（参考訳）: フラッグで楽しむ:フラッグマニフォールドによるロバストな主要方向
- Authors: Nathan Mankovich, Gustau Camps-Valls, Tolga Birdal,
- Abstract要約: 主成分分析(PCA)はコンピュータビジョンと機械学習において不可欠である。
我々はPCAとその変種に対する統一的な形式論を示し、線形部分空間のフラグに基づくフレームワークを導入する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 19.034855801255837
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Principal component analysis (PCA), along with its extensions to manifolds and outlier contaminated data, have been indispensable in computer vision and machine learning. In this work, we present a unifying formalism for PCA and its variants, and introduce a framework based on the flags of linear subspaces, ie a hierarchy of nested linear subspaces of increasing dimension, which not only allows for a common implementation but also yields novel variants, not explored previously. We begin by generalizing traditional PCA methods that either maximize variance or minimize reconstruction error. We expand these interpretations to develop a wide array of new dimensionality reduction algorithms by accounting for outliers and the data manifold. To devise a common computational approach, we recast robust and dual forms of PCA as optimization problems on flag manifolds. We then integrate tangent space approximations of principal geodesic analysis (tangent-PCA) into this flag-based framework, creating novel robust and dual geodesic PCA variations. The remarkable flexibility offered by the 'flagification' introduced here enables even more algorithmic variants identified by specific flag types. Last but not least, we propose an effective convergent solver for these flag-formulations employing the Stiefel manifold. Our empirical results on both real-world and synthetic scenarios, demonstrate the superiority of our novel algorithms, especially in terms of robustness to outliers on manifolds.
- Abstract（参考訳）: 主成分分析(PCA)は、多様体の拡張や外層汚染データとともに、コンピュータビジョンや機械学習では不可欠である。
そこで本研究では,PCAとその変種に対する統一形式を提示し,線形部分空間のフラグに基づくフレームワークを導入する。
分散を最大化するか、再構成誤差を最小化する従来のPCA手法を一般化することから始める。
我々はこれらの解釈を拡張して、外れ値とデータ多様体を考慮し、新しい次元削減アルゴリズムを広範囲に開発する。
共通の計算手法を考案するために、フラグ多様体の最適化問題として、頑健で双対なPCAを再放送する。
次に、このフラグベースのフレームワークに主測地線解析(Tangent-PCA)の接空間近似を組み込み、新しいロバストかつ双対測地線PCAのバリエーションを作成する。
ここで導入された"フラグ化(flagification)"によって提供される顕著な柔軟性は、特定のフラグタイプによって識別される、さらにアルゴリズム的なバリエーションを可能にします。
最後に、Stiefel多様体を用いたこれらのフラグ形式に対する効果的な収束解法を提案する。
実世界のシナリオと合成シナリオの両方に関する実証的な結果から、新しいアルゴリズムの優位性、特に多様体上の外れ値に対するロバスト性を示す。
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