論文の概要: Necessary and sufficient conditions for universality of Kolmogorov-Arnold networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.23765v1
- Date: Sun, 26 Apr 2026 15:31:51 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-04-28 17:12:07.537422
- Title: Necessary and sufficient conditions for universality of Kolmogorov-Arnold networks
- Title（参考訳）: コルモゴロフ・アルノルドネットワークの普遍性に必要な必要十分条件
- Authors: Vugar Ismailov,
- Abstract要約: すべての連続非アフィン関数 $$ に対して、有限アフィン族 $A_$ が存在して、エッジ関数を持つ深いカンが$A_cup$ で普遍的であることを示す。
また、Liu らによって導入されたスプラインベースのエッジパラメータ化を持つ Kans が古典的な意味での普遍近似であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We analyze the universal approximation property of Kolmogorov-Arnold Networks (KANs) in terms of their edge functions. If these functions are all affine, then universality clearly fails. How many non-affine functions are needed, in addition to affine ones, to ensure universality? We show that a single one suffices. More precisely, we prove that deep KANs in which all edge functions are either affine or equal to a fixed continuous function $σ$ are dense in $C(K)$ for every compact set $K\subset\mathbb{R}^n$ if and only if $σ$ is non-affine. In contrast, for KANs with exactly two hidden layers, universality holds if and only if $σ$ is nonpolynomial. We further show that the full class of affine functions is not required; it can be replaced by a finite set without affecting universality. In particular, in the nonpolynomial case, a fixed family of five affine functions suffices when the depth is arbitrary. More generally, for every continuous non-affine function $σ$, there exists a finite affine family $A_σ$ such that deep KANs with edge functions in $A_σ\cup\{σ\}$ remain universal. We also prove that KANs with the spline-based edge parameterization introduced by Liu et al.~\cite{Liu2024} are universal approximators in the classical sense, even when the spline degree and knot sequence are fixed in advance.
- Abstract（参考訳）: コルモゴロフ・アルノルドネットワーク(KAN)の普遍近似特性をエッジ関数の観点から解析する。
これらの関数がすべてアフィンであれば、普遍性は明らかに失敗する。
普遍性を保証するために、アフィン関数に加えて、どのくらいの非アフィン関数が必要か?
私たちは一人が十分であることを示す。
より正確には、すべての辺函数がアフィンか固定連続函数に等しいような深いカンが、すべてのコンパクト集合 $K\subset\mathbb{R}^n$ に対して、$σ$ が非アフィンであることと、$σ$ が非アフィンであることを証明する。
対照的に、ちょうど2つの隠れた層を持つカンに対して、普遍性は、$σ$ が非ポリノミカルであるときにのみ成り立つ。
さらに、アフィン函数の全類は必要ないことを示し、普遍性に影響を与えることなく有限集合に置き換えることができる。
特に、非多項式の場合、5つのアフィン函数の固定族は、深さが任意のときに十分である。
より一般に、すべての連続な非アフィン函数 $σ$ に対して、有限アフィン族 $A_σ$ が存在して、これは、辺函数が $A_σ\cup\{σ\}$ の深いカンが普遍的である。
また、Lou et al ~\cite{Liu2024} によって導入されたスプラインベースのエッジパラメータ化を持つkan が、スプライン次数と結び目列が予め固定されている場合でも、古典的な意味で普遍的な近似であることを示す。
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