論文の概要: Uniform $\mathcal{C}^k$ Approximation of $G$-Invariant and Antisymmetric Functions, Embedding Dimensions, and Polynomial Representations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.01339v1
• Date: Sat, 2 Mar 2024 23:19:10 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-03-05 14:08:23.912087
• Title: Uniform $\mathcal{C}^k$ Approximation of $G$-Invariant and Antisymmetric Functions, Embedding Dimensions, and Polynomial Representations
• Title（参考訳）: 一様 $\mathcal{C}^k$$$G$-不変および反対称関数の近似、埋め込み次元、および多項式表現
• Authors: Soumya Ganguly, Khoa Tran, Rahul Sarkar
• Abstract要約: 必要な埋め込み次元は、対象関数の正則性、所望の近似の精度、および$k$に依存しないことを示す。 また、$K$の上と下の境界も提供し、$K$が対象関数の正則性、所望の近似精度、および$k$とは独立であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: For any subgroup $G$ of the symmetric group $\mathcal{S}_n$ on $n$ symbols, we present results for the uniform $\mathcal{C}^k$ approximation of $G$-invariant functions by $G$-invariant polynomials. For the case of totally symmetric functions ($G = \mathcal{S}_n$), we show that this gives rise to the sum-decomposition Deep Sets ansatz of Zaheer et al. (2018), where both the inner and outer functions can be chosen to be smooth, and moreover, the inner function can be chosen to be independent of the target function being approximated. In particular, we show that the embedding dimension required is independent of the regularity of the target function, the accuracy of the desired approximation, as well as $k$. Next, we show that a similar procedure allows us to obtain a uniform $\mathcal{C}^k$ approximation of antisymmetric functions as a sum of $K$ terms, where each term is a product of a smooth totally symmetric function and a smooth antisymmetric homogeneous polynomial of degree at most $\binom{n}{2}$. We also provide upper and lower bounds on $K$ and show that $K$ is independent of the regularity of the target function, the desired approximation accuracy, and $k$.
• Abstract（参考訳）: 対称群 $\mathcal{s}_n$ on $n$ symbols の任意の部分群 $g$ に対して、一様 $\mathcal{c}^k$ に対して、$g$ 不変多項式による $g$ 不変関数の近似結果を示す。 完全対称函数(G = \mathcal{S}_n$)の場合、このことはザヘールら (2018) の和分解Deep Sets ansatz(英語版)を生じさせる。 特に、必要となる埋め込み次元は、対象関数の正則性、所望の近似の精度、および$k$ とは独立であることを示す。 次に、類似の手順により、各項が滑らかな完全対称関数と、最大$\binom{n}{2}$で次数の滑らかな反対称斉次多項式の積である、k$項の和として反対称関数の均一な$\mathcal{c}^k$近似が得られることを示す。 また、$K$の上と下の境界も提供し、$K$が対象関数の正則性、所望の近似精度、および$k$とは独立であることを示す。

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