論文の概要: Quantum-Accelerated Gowers $U_2$ Norm for Bent Boolean Functions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.25503v2
- Date: Fri, 01 May 2026 12:16:48 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-04 13:37:10.832779
- Title: Quantum-Accelerated Gowers $U_2$ Norm for Bent Boolean Functions
- Title（参考訳）: ベントブール関数に対する量子加速ガウワー$U_2$ノルム
- Abstract要約: 進化的適合関数としてGowers$U$標準を評価するために,Emphquantum回路を用いたハイブリッド量子古典遺伝的アルゴリズム(GA)を提案する。
量子評価回路は、関数クエリ毎にわずか3n$ qubitsと$bigO(n2)$ 2-qubit gatesしか必要としない。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Bent Boolean functions extremal objects that maximally resist affine approximation are notoriously hard to construct for large numbers of variables. We propose a hybrid quantum-classical genetic algorithm (GA) that uses a \emph{quantum circuit} to evaluate the Gowers $U_2$ norm as the evolutionary fitness function. Our central contribution is a complexity-theoretic separation: the quantum evaluation circuit requires only $3n$ qubits and $\bigO(n^2)$ two-qubit gates per function query, whereas the classical computation of the exact Gowers $U_2$ norm demands $\bigO(2^{2n})$ arithmetic operations an exponential overhead that renders it infeasible for $n \gtrsim 25$. We validate the framework on $n=6$ and $n=8$ variable systems. For $n=8$, our classical GA run extended to 1000 generations achieves best fitness $\Utwof = 0.250000$ \emph{exactly} the theoretical bent threshold $2^{-n/4}$ with average fitness $0.257267$, confirming that the Gowers $U_2$ norm is a superior fitness criterion over Walsh-Hadamard spectral flatness. Quantum-assisted evaluation faithfully reproduces the classical trajectory up to finite-sampling noise, and our complexity analysis demonstrates that for $n > 25$ the quantum evaluator provides a decisive computational advantage on fault-tolerant hardware.
- Abstract（参考訳）: アフィン近似に極大に抵抗する極端対象のベント・ブール関数は、多くの変数に対して構築することが難しいと悪名高い。
進化的適合関数としてGowers $U_2$ normを評価するために, \emph{quantum circuit} を用いたハイブリッド量子古典型遺伝的アルゴリズム(GA)を提案する。
量子評価回路は関数クエリあたりの3n$ qubits と $\bigO(n^2)$ 2-qubit gates しか必要としないのに対し、正確な Gowers $U_2$ norm demand $\bigO(2^{2n})$ 算術演算は$n \gtrsim 25$ では不可能な指数的オーバーヘッドである。
このフレームワークを$n=6$と$n=8$変数システムで検証する。
従来のGAランニングを1000世代に拡張した$n=8$は、理論的な曲げしきい値である$\Utwof = 0.250000$ \emph{exactly} を平均的なフィットネス$0.257267$で達成し、Gowers $U_2$ normがWalsh-Hadamard平らさよりも優れたフィットネス基準であることを確認する。
量子支援評価は、有限サンプリングノイズまでの古典的軌道を忠実に再現し、我々の複雑性解析は、$n > 25$の量子評価器がフォールトトレラントハードウェアに決定的な計算上の優位性をもたらすことを示す。
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