論文の概要: The Banach-Butterfly Invariant: Influence-Adaptive Walsh Geometry for Ternary Polynomial Threshold Functions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.01637v1
• Date: Sat, 02 May 2026 22:54:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-05 20:33:49.860911
• Title: The Banach-Butterfly Invariant: Influence-Adaptive Walsh Geometry for Ternary Polynomial Threshold Functions
• Title（参考訳）: バナッハ・バタフライ不変量:3次多項式閾値関数に対する影響適応型ウォルシュ幾何
• Authors: Gorgi Pavlov,
• Abstract要約: Banach-Suttermajority Conditional Factorization (BBT) BBTは、Walsh-Had0003因子化における影響変種バナッハ幾何学である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We introduce the Banach-Butterfly Invariant (BBT), an influence-adaptive Banach geometry on the Walsh-Hadamard butterfly factorization. For a Boolean function $f:\{-1,+1\}^n\to\{-1,+1\}$ with coordinate influences $\mathrm{Inf}_\ell(f)$, BBT assigns exponent $p_\ell = 1+\mathrm{Inf}_\ell(f)$ to butterfly layer $\ell$, yielding the contraction invariant $μ(f)=\prod_\ell 2^{-\mathrm{Inf}_\ell/(1+\mathrm{Inf}_\ell)}$. We prove a Jensen lower bound $\log_2μ(f) \ge -I(f)/(1+I(f)/n)$ and that $μ$ is strictly Schur-convex in the influence vector (modulo permutation), giving scaling classes $μ\sim 2^{-n/2}$ (parity), $2^{-Θ(\sqrt{n})}$ (majority), $2^{-1/2}$ (dictators). $\log_2μ$ is rational but not polynomial in the Fourier coefficients while $μ$ is algebraic, and $μ$ separates functions with identical total influence (122 pairs at $n=3$). Using the certified $n \le 4$ ternary Walsh-threshold universe from a companion synthesis manuscript as a finite testbed, we compute exact MILP minimum-support certificates for all 65,536 Boolean functions at $n=4$ (mean 6.42, max 9, all-odd by a parity argument) and on 10,000 of the 616,126 NPN-canonical representatives we enumerate at $n=5$ (matching OEIS A000370). Conditional Spearman $ρ(μ,|\mathrm{supp}|)$ at fixed total influence is $+0.571$ in the largest stratum at $n=4$ but reverses to $-0.38$ at $n=5$ under both function-uniform and NPN-canonical sampling: $μ$ is a valid Schur-convex concentration invariant, not a universal monotone predictor of minimum support across $n$. A companion application paper validates a real-valued WHT activation-energy proxy inspired by this theory on five pretrained LLMs at W2A16, cutting wikitext-2 perplexity by 15-58% versus vanilla auto-round; the transfer from Boolean theory to the real-valued proxy is qualitative, not formal.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,Walsh-Hadamard のバタフライ分解に適応したバナッハ幾何学であるバナッハ・バタフライ不変量(BBT)を紹介する。 ブール関数 $f:\{-1,+1\}^n\to\{-1,+1\}$ に座標の影響があるとき、BBT は指数 $p_\ell = 1+\mathrm{Inf}_\ell(f)$ をバタフライ層 $\ell$ に割り当て、不変な $μ(f)=\prod_\ell 2^{-\mathrm{Inf}_\ell/(1+\mathrm{Inf}_\ell)}$ を得る。 我々は、Jensen の下界 $\log_2μ(f) \ge -I(f)/(1+I(f)/n)$ を証明し、$μ$ は影響ベクトル(モジュロ置換)の厳密なシュル凸であり、スケーリングクラス $μ\sim 2^{-n/2}$ (パリティ), $2^{-*(\sqrt{n})}$ (マジョリティ), $2^{-1/2}$ (ディクタ) を与える。 $\log_2μ$ は有理であるがフーリエ係数の多項式ではなく、$μ$ は代数的であり、$μ$ は同じ全影響を持つ函数($n=3$の122対)を分離する。 証明された$n \le 4$ 3次Walsh-threshold宇宙を有限テストベッドとして使用し、65,536個のブール関数のMILP最小サポート証明書を$n=4$ (mean 6.42, max 9 all-odd by a parity argument) で計算し、616,126個のNPN-標準代表のうち10,000個を$n=5$ (matching OEIS A000370) で列挙する。 Conditional Spearman $ρ(μ,|\mathrm{supp}|)$ at fixed total influence is $+0.571$ in the largest stratum at $n=4$ but reverses to $-0.38$ at $n=5$ under both function-uniform and NPN-canonical sample: $μ$ is a valid Schur-convex concentration invariant, not a universal monotone predictor of minimum support across $n$。 W2A16の5つの事前学習LDM上で、この理論にインスパイアされた実数値WHT活性化エネルギープロキシを検証し、wikitext-2パープレキシティを15～58%削減し、バニラオートラウンドに対して、ブール理論から実数値プロキシへの遷移は定性的であり、形式的ではない。

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