論文の概要: Exact Loop Controllers for ReLU Realization of Homogeneous Curve Refinements
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.01655v1
- Date: Sun, 03 May 2026 00:44:46 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-05 20:33:49.870077
- Title: Exact Loop Controllers for ReLU Realization of Homogeneous Curve Refinements
- Title（参考訳）: 均一曲線のReLU実現のための厳密ループ制御系
- Authors: Boldsaikhan Bolorkhuu, Tsogtgerel Gantumur,
- Abstract要約: 等質精製作用素 ((V)(t)=sum_jinmathbb ZA_j(Mt-j)) について検討し、コンパクトに支持された連続ピースワイド線型曲線 (:mathbb Rtomathbb Rp) 上で作用する(Mge2) と有限個の行列 (A_jinmathbb Rptimes p) のみがゼロである。
繰り返し(Vn)が正確なReを認めることを証明します。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study homogeneous refinement operators \((Vγ)(t)=\sum_{j\in\mathbb Z}A_jγ(Mt-j)\), acting on compactly supported continuous piecewise linear curves \(γ:\mathbb R\to\mathbb R^p\), where \(M\ge2\) and only finitely many matrices \(A_j\in\mathbb R^{p\times p}\) are nonzero. We prove that the iterates \(V^nγ\) admit exact ReLU realizations of fixed width and depth \(O(n)\). The main new ingredient is an exact loop controller for the residual dynamics. Instead of propagating scalar residual surrogates, the construction transports the residual orbit by a forward-exact state on a polygonal loop. Scalar factors and digit selectors are then recovered from this loop state by complementary CPwL readouts. The loop seam is not removed, but its remaining ambiguity is confined to the final readout/selector stage, where it is harmless because the scalar atom is supported away from the seam. This gives a homogeneous \(M\)-ary vector-valued extension of the scalar binary refinable-function construction with a more geometric controller architecture. We also record crude exponential bounds on the network weights and biases. Affine forcing terms are handled by expanding affine iterates into finite sums of homogeneous iterates, giving exact fixed-width realizations with depth \(O(n^2)\), and anchored open curves reduce to compactly supported defects with affine anchor mismatch. We also describe homogeneous polygonal generators, including dragon-type examples and a self-intersecting Hilbert-type prototype in arbitrary dimension. The extended version includes stage-dependent forcing, finite-state stacking reductions, and further geometric constructions such as Koch-, Gosper-, Morton-, and connector-based Hilbert-type variants.
- Abstract（参考訳）: 等質精製作用素 \((Vγ)(t)=\sum_{j\in\mathbb Z}A_jγ(Mt-j)\) について研究し、コンパクトに支持された連続ピースワイド線型曲線 \(γ:\mathbb R\to\mathbb R^p\) 上で作用し、そこでは \(M\ge2\) と有限個の行列 \(A_j\in\mathbb R^{p\times p}\) のみが 0 でない。
反復集合 \(V^nγ\) が固定幅と深さ \(O(n)\ の正確な ReLU 実現を許すことを証明している。
主要な新しい要素は、残留ダイナミクスのための正確なループコントローラである。
この構造は、スカラー残基を伝播する代わりに、多角形ループ上の前方運動状態によって残基を輸送する。
スカラファクタと桁セレクタは、補完的なCPwL読み出しによってこのループ状態から復元される。
ループシームは除去されないが、残りのあいまいさは最終読み出し/セレクタ段階に限られており、スカラー原子がシームから遠ざかっているため無害である。
これにより、より幾何的なコントローラアーキテクチャを持つスカラー二項精製可能関数構成の同質な \(M\)-ary vector-valued extension が得られる。
また、ネットワークの重みとバイアスに関する粗指数境界を記録します。
アフィン強制項は、アフィンイテレートを同質イテレートの有限和に拡張し、深さ \(O(n^2)\) の正確な固定幅実現を与えることにより処理され、アンカー曲線はアフィンアンカーミスマッチでコンパクトに支持された欠陥に還元される。
また、ドラゴン型例やヒルベルト型プロトタイプを含む同質多角形生成器を任意の次元で記述する。
拡張版には、ステージ依存の強制、有限状態の積み重ね削減、さらにコッホ-、ゴスパー-、モートン-、コネクタベースのヒルベルト型変種のような幾何学的な構成が含まれている。
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