論文の概要: Foundations of Riemannian Geometry for Riemannian Optimization: A Monograph with Detailed Derivations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.02279v1
• Date: Mon, 04 May 2026 07:11:11 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-05 20:33:50.168515
• Title: Foundations of Riemannian Geometry for Riemannian Optimization: A Monograph with Detailed Derivations
• Title（参考訳）: リーマン最適化のためのリーマン幾何学の基礎:詳細な導出を伴うモノグラフ
• Authors: Benyamin Ghojogh,
• Abstract要約: この研究はリーマン幾何学の基礎の自己完結的で厳密な扱いを提供する。 我々は、接空間と余接空間、テンソル計算、計量テンソル、レヴィ・チヴィタ接続、曲率、測地学を含む重要な幾何学構造を開発する。 これらの構成をスティーフェル、グラスマン、SPDを含む重要な行列多様体に特化する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.10152838128195464
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Riemannian geometry provides the fundamental framework for optimization on nonlinear spaces such as matrix manifolds, which arise in machine learning, signal processing, and robotics. While the underlying theory is classical, existing literature often presents results at a high level of abstraction, omitting the detailed coordinate-level derivations required for implementation and algorithm development. This work provides a self-contained and rigorous treatment of the foundations of Riemannian geometry, with a focus on explicit derivations tailored to Riemannian optimization. We systematically develop the key geometric structures -- including tangent and cotangent spaces, tensor calculus, metric tensors, Levi-Civita connections, curvature, and geodesics -- emphasizing step-by-step derivations in coordinates and matrix form. Building on these foundations, we derive the Riemannian gradient, Hessian, exponential map, and retraction in a form suitable for numerical computation. We further specialize these constructions to important matrix manifolds, including the Stiefel, Grassmann, and SPD (Symmetric Positive Definite) manifolds, providing explicit formulas widely used in optimization and geometric machine learning. This monograph develops a unified and implementation-oriented treatment of Riemannian geometry for optimization on manifolds. Its main contribution is the systematic organization and detailed derivation of classical geometric constructions in forms directly usable for algorithm design and numerical implementation. By connecting coordinate-level differential geometry with matrix-manifold formulas, the monograph bridges the gap between abstract theory and practical computation, and provides a reference for researchers and practitioners working in Riemannian optimization and related fields.
• Abstract（参考訳）: リーマン幾何学は、機械学習、信号処理、ロボット工学で生じる行列多様体のような非線形空間を最適化するための基本的な枠組みを提供する。 基礎となる理論は古典的であるが、既存の文献はしばしば高いレベルの抽象化結果を示し、実装とアルゴリズム開発に必要な詳細な座標レベルの導出を省略する。 この研究はリーマン幾何学の基礎の自己完結的で厳密な扱いを提供し、リーマン最適化に合わせた明示的な導出に焦点をあてる。 我々は、接空間や余接空間、テンソル計算、計量テンソル、レヴィ・チヴィタ接続、曲率、測地学を含む重要な幾何学的構造を体系的に発展させ、座標や行列形式におけるステップバイステップの導出を強調する。 これらの基礎の上に構築され、リーマン勾配、ヘッセン勾配、指数写像、そして、数値計算に適した形での簡約を導出する。 さらに、これらの構成をStiefel, Grassmann, SPD (Symmetric Positive Definite) 多様体を含む重要な行列多様体に特化し、最適化や幾何機械学習に広く用いられる明示的な公式を提供する。 このモノグラフは、多様体の最適化のためにリーマン幾何学の統一的で実装指向の処理を開発する。 その主な貢献は、アルゴリズムの設計や数値的な実装に直接使用可能な形式における古典幾何学的構成の体系的構造と詳細な導出である。 座標レベルの微分幾何学と行列多様体の公式を結合することにより、このグラフは抽象理論と実用的な計算のギャップを埋め、リーマン最適化や関連する分野で働く研究者や実践者への参照を提供する。

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