論文の概要: Globally Solving Unbalanced Optimal Transport and Density Control for Gaussian Distributions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.04246v1
• Date: Tue, 05 May 2026 19:32:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-07 18:41:07.513835
• Title: Globally Solving Unbalanced Optimal Transport and Density Control for Gaussian Distributions
• Title（参考訳）: ガウス分布の最適輸送と密度制御のグローバル解法
• Authors: Haruto Nakashima, Siddhartha Ganguly, Kenji Kashima,
• Abstract要約: 不均衡最適輸送(UOT)を研究し、制御理論の動的拡張を確立し、不均衡密度制御(UDC)と呼ぶ。 静的な環境では、所定のガウス測度に対する2次輸送コストとクルバック-リーブルの罰則を考慮する。 我々は、任意の実現可能な解が最適性を失うことなく、ガウスの初期測度とアフィン・ガウス制御ポリシーによって置き換えられることを証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.9116784879310027
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this article, we study unbalanced optimal transport (UOT) and establish a control-theoretic dynamical extension, which we call the unbalanced density control (UDC), for a class of Gaussian reference measures. In the static setting, we consider UOT with quadratic transport cost and Kullback--Leibler penalties on the marginals relative to prescribed Gaussian measures. We show that the infinite-dimensional variational problem admits an exact Gaussian reduction, yielding a finite-dimensional optimization over masses, means, and covariances, together with a closed-form expression for the optimal transported mass. We then formulate UDC for discrete-time linear systems, where the initial and terminal state measures are imposed softly through KL penalties and the intermediate evolution is governed by controlled linear dynamics with quadratic control cost. For this problem, we prove that any feasible solution can be replaced, without loss of optimality, by a Gaussian initial measure and an affine-Gaussian control policy. This leads to an exact finite-dimensional reformulation and, after a standard covariance-steering lifting, to an SDP-based optimization for fixed mass, again coupled with a closed-form mass update. We further establish existence of optimal solutions and identify a sufficient condition under which the affine-Gaussian UDC policy is deterministic. These results provide globally optimal solution methods for both Gaussian UOT and Gaussian UDC. Finally, we illustrate our results with several numerical examples.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,不均衡な最適輸送(UOT)について検討し,不均衡密度制御(UDC)と呼ばれる制御理論の動的拡張をガウス的基準尺度のクラスに対して確立する。 静的な環境では、所定のガウス測度に対する2次輸送コストとクルバック-リーブルの罰則を考慮する。 無限次元変分問題において, 質量, 手段, 共分散に対する有限次元の最適化と, 最適輸送質量に対する閉形式表現が得られた。 次に、離散時間線形系のUDCを定式化し、初期状態と終状態の対策をKLペナルティを通じてソフトに行い、中間進化を2次制御コストで制御線形力学により制御する。 この問題に対して、任意の実現可能な解が最適性を失うことなく、ガウスの初期測度とアフィン・ガウス制御ポリシーによって置き換えられることを証明する。 これにより、正確な有限次元の再構成が行われ、標準共分散ステアリングリフトの後、固定質量に対するSDPベースの最適化が再び閉形式質量更新と結合される。 さらに、最適解の存在を確立し、アフィン・ガウスのUDCポリシーが決定論的である十分な条件を特定する。 これらの結果は、ガウス UOT とガウス UDC の両方に対して、大域的最適解法を提供する。 最後に,実験結果をいくつかの数値例で紹介する。

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