論文の概要: Neural-Schwarz Tiling for Geometry-Universal PDE Solving at Scale

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.12343v1
• Date: Tue, 12 May 2026 16:20:26 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-13 21:48:57.007368
• Title: Neural-Schwarz Tiling for Geometry-Universal PDE Solving at Scale
• Title（参考訳）: 大規模PDE解法のためのニューラルシュワルツタイリング
• Authors: Paolo Secchi, Daniel S. Balint, Marco Maurizi,
• Abstract要約: 私たちは、フルドメインのソリューション演算子から再利用可能なローカル物理ソルバへ学習を移行する、ローカルからグローバルなフレームワークである$textbfNEST$(textbfS$chwarz $textbfT$iling)を紹介します。 NESTは、さまざまなローカルジオメトリとバウンダリ/インターフェースデータを備えた、最小限のボクセルパッチ上のニューラル演算子を学習する。 以上の結果から,Schwarz反復による局所的ニューラルネットワーク構築ブロックは,スケーラブルな学習型PDE解法への再利用可能な局所学習パスを提供することがわかった。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Most learned PDE solvers follow a global-surrogate paradigm: a neural operator is trained to map full problem descriptions to full solution fields for a prescribed distribution of geometries, boundary conditions, and coefficients. This has enabled fast inference within fixed problem families, but limits reuse across new domains and makes large-scale deployment dependent on expensive problem-specific data generation. We introduce $\textbf{NEST}$ ($\textbf{Ne}$ural-$\textbf{S}$chwarz $\textbf{T}$iling), a local-to-global framework that shifts learning from full-domain solution operators to reusable local physical solvers. The central premise is that, although global PDE solutions depend on geometry, scale, and boundary conditions, the physical response on small neighborhoods can be learned locally and composed into global solutions through classical domain decomposition. NEST learns a neural operator on minimal voxel patches ($3 \times 3 \times 3$) with diverse local geometries and boundary/interface data. At inference time, an unseen voxelized domain is tiled into overlapping patches, the learned local solver is applied patchwise, and global consistency is enforced through iterative Schwarz coupling with partition-of-unity assembly. In this way, generalization is shifted from a monolithic neural model to the combination of local physics learning and algorithmic global assembly. We instantiate NEST on nonlinear static equilibrium in compressible neo-Hookean solids and evaluate it on large, geometrically complex 3D domains far outside the scale of the training patches. Our results show that local neural building blocks, coupled through Schwarz iteration, offer a reusable local-training path toward scalable learned PDE solvers that generalize across domain size, shape, and boundary-condition configurations.
• Abstract（参考訳）: ニューラル演算子は、所定の測地、境界条件、係数の分布に対して、完全な問題記述を完全な解場にマッピングするように訓練される。 これにより、固定された問題ファミリ内での高速な推論が可能になったが、新しいドメイン間の再利用を制限し、高価な問題固有のデータ生成に依存する大規模なデプロイメントを実現する。 我々は、フルドメインのソリューション演算子から再利用可能なローカル物理ソルバへ学習を移行する、ローカルからグローバルなフレームワークである$\textbf{NEST}$$$\textbf{Ne}$ural-$\textbf{S}$chwarz $\textbf{T}$ilingを紹介する。 中心的な前提は、大域的なPDE解は幾何、スケール、境界条件に依存するが、小さな近傍での物理的応答は局所的に学習され、古典的な領域分解を通じて大域的な解に構成できるということである。 NESTは、さまざまなローカルジオメトリとバウンダリ/インターフェースデータを使って、最小限のボクセルパッチ(3 \times 3 \times 3$)でニューラル演算子を学習する。 推論時に、未確認のボクセル化ドメインを重なり合うパッチに利用し、学習された局所解法をパッチワイズに適用し、一様分割アセンブリとシュワルツの反復結合により大域的一貫性を強制する。 このようにして、一般化はモノリシックニューラルネットワークから局所物理学学習とアルゴリズム的グローバルアセンブリの組み合わせへと移行する。 圧縮可能なネオ・フック固体における非線形静的平衡のNESTをインスタンス化し、トレーニングパッチのスケールのはるかに外にある大規模で幾何学的に複雑な3D領域で評価する。 以上の結果から,Schwarz反復によって結合された局所的ニューラルネットワークブロックは,ドメインサイズ,形状,境界条件設定をまたいだ拡張学習型PDEソルバへの再利用可能な局所的学習パスを提供することがわかった。

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