論文の概要: Scale-Consistent Learning for Partial Differential Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.18813v1
- Date: Thu, 24 Jul 2025 21:29:52 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-28 16:16:48.762872
- Title: Scale-Consistent Learning for Partial Differential Equations
- Title（参考訳）: 部分微分方程式のスケール一貫性学習
- Authors: Zongyi Li, Samuel Lanthaler, Catherine Deng, Michael Chen, Yixuan Wang, Kamyar Azizzadenesheli, Anima Anandkumar,
- Abstract要約: 本稿では,PDEのスケール一貫性特性に基づくデータ拡張手法を提案する。
次に、幅広いスケールをモデル化できるスケールインフォームド・ニューラル演算子を設計する。
スケール一貫性によって、1000ドルの$Re$でトレーニングされたモデルは、250から10000までの$Re$に一般化することができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 79.48661503591943
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Machine learning (ML) models have emerged as a promising approach for solving partial differential equations (PDEs) in science and engineering. Previous ML models typically cannot generalize outside the training data; for example, a trained ML model for the Navier-Stokes equations only works for a fixed Reynolds number ($Re$) on a pre-defined domain. To overcome these limitations, we propose a data augmentation scheme based on scale-consistency properties of PDEs and design a scale-informed neural operator that can model a wide range of scales. Our formulation leverages the facts: (i) PDEs can be rescaled, or more concretely, a given domain can be re-scaled to unit size, and the parameters and the boundary conditions of the PDE can be appropriately adjusted to represent the original solution, and (ii) the solution operators on a given domain are consistent on the sub-domains. We leverage these facts to create a scale-consistency loss that encourages matching the solutions evaluated on a given domain and the solution obtained on its sub-domain from the rescaled PDE. Since neural operators can fit to multiple scales and resolutions, they are the natural choice for incorporating scale-consistency loss during training of neural PDE solvers. We experiment with scale-consistency loss and the scale-informed neural operator model on the Burgers' equation, Darcy Flow, Helmholtz equation, and Navier-Stokes equations. With scale-consistency, the model trained on $Re$ of 1000 can generalize to $Re$ ranging from 250 to 10000, and reduces the error by 34% on average of all datasets compared to baselines.
- Abstract（参考訳）: 機械学習(ML)モデルは、科学と工学において偏微分方程式(PDE)を解くための有望なアプローチとして登場した。
例えば、Navier-Stokes方程式の訓練されたMLモデルは、事前に定義されたドメイン上の固定されたレイノルズ数(Re$)に対してのみ機能する。
これらの制約を克服するために、PDEのスケール一貫性特性に基づくデータ拡張手法を提案し、幅広いスケールをモデル化できるスケールインフォームド・ニューラル演算子を設計する。
私たちの定式化は事実を活用する。
(i)PDEを再スケールすることも、より具体的には、与えられたドメインを単位サイズに再スケールすることもでき、PDEのパラメータと境界条件を適切に調整して元のソリューションを表現することもできる。
(ii) 与えられた領域上の解作用素は、サブドメイン上で一貫したものである。
我々は、これらの事実を活用して、あるドメインで評価されたソリューションと、再スケールされたPDEから得られたサブドメインで得られたソリューションのマッチングを促進するスケール一貫性損失を生成する。
ニューラル作用素は複数のスケールと解像度に適合するので、ニューラルPDEソルバのトレーニング中にスケール一貫性損失を組み込むには自然な選択である。
我々は,バーガーズ方程式,ダーシーフロー,ヘルムホルツ方程式,ナビエ・ストークス方程式のスケール一貫性損失とスケールインフォームドニューラル演算子モデルを用いて実験を行った。
スケール一貫性によって、1000ドルの$Re$でトレーニングされたモデルは、250から10000ドルの$Re$に一般化でき、ベースラインと比較して、すべてのデータセットの平均でエラーを34%削減できる。
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