論文の概要: Universal Approximation of Nonlinear Operators and Their Derivatives
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.15285v1
- Date: Thu, 14 May 2026 18:00:58 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-18 21:22:26.047525
- Title: Universal Approximation of Nonlinear Operators and Their Derivatives
- Title（参考訳）: 非線形作用素の普遍近似とその導関数
- Abstract要約: デリバティブ・インフォームド・オペレーター・ラーニング(DIOL)は、オペレーター・ラーニング(OL)の影響力のある分野の基礎となるオープン・リサーチ・フロンティアである。
バナッハ空間とその微分の間の非線型$k$-times微分作用素の最初の普遍近似定理(UATs)を証明する。
我々の結果は、[Hornik, 1991] における対応する影響のある古典的な結果から無限次元の設定と OL への最初の完全一般化である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Derivative-Informed Operator Learning (DIOL), i.e. learning a (nonlinear) operator and its derivatives, is an open research frontier at the foundations of the influential field of Operator Learning (OL). In particular, Universal Approximation Theorems (UATs) of nonlinear operators and their derivatives are foundational open questions and delicate problems in nonlinear functional analysis. In this manuscript, we prove the first UATs of non-linear $k$-times differentiable operators between Banach spaces and their derivatives, uniformly on compact sets and in weighted Sobolev norms for general finite input measures, via OL architectures. Our results are the first complete generalizations of the corresponding influential classical results in [Hornik, 1991] to infinite-dimensional settings and OL. We discuss several open areas where DIOL and our UATs find applications: high-order accuracy in OL, fast constrained optimization in Banach spaces (e.g. optimal control of PDEs, inverse problems) and numerical methods for infinite-dimensional PDEs (e.g. HJB PDEs on Banach spaces from optimal control of PDEs, SPDEs, path-dependent systems, partially observed systems, mean-field control). We parameterize nonlinear operators via Encoder-Decoder Architectures, renowned classes in OL due to their generality, including classical architectures, such as DeepONets, Deep-H-ONets, PCA-Nets. Our results are based on four key features that allow us to prove UATs in full generality: (i) Approximation Properties of Banach spaces. (ii) $k$-times continuous differentiability in the sense of Bastiani (weaker than $k$-times continuous Fréchet differentiability). (iii) Natural compact-open topologies for UA; indeed, we show that UA in standard compact-open topologies induced by operator norms is violated even for Fréchet derivatives. (iv) Construction of novel weighted Sobolev spaces for the UA.
- Abstract（参考訳）: デリバティブ・インフォームド・オペレーター・ラーニング(DIOL, Derivative-Informed Operator Learning)は、オペレーター・ラーニング(OL)の影響力のある分野の基礎となるオープン・リサーチ・フロンティアである。
特に、非線形作用素とその微分の普遍近似定理(UAT)は、非線形汎函数解析における基礎的開問題と微妙な問題である。
本書では、バナッハ空間とその導関数の間の線型でない$k$-times微分作用素の最初の UAT を、一様コンパクト集合と一般有限入力測度に対する重み付きソボレフノルム(英語版)においてOLアーキテクチャ(英語版)を介して証明する。
我々の結果は、[Hornik, 1991] における対応する影響のある古典的な結果から無限次元の設定と OL への最初の完全一般化である。
OLにおける高次精度、バナッハ空間における高速制約最適化(例えば、PDEの最適制御、逆問題)、無限次元PDEに対する数値法(例えば、PDEの最適制御からバナッハ空間上のHJB PDE、SPDE、経路依存系、部分的に観察されたシステム、平均場制御)について論じる。
本稿では,DeepONets,Deep-H-ONets,PCA-Netsなどの古典的アーキテクチャを含むOLで有名なクラスであるEncoder-Decoder Architecturesを用いて非線形演算子をパラメータ化する。
我々の結果は、UATを完全な汎用性で証明できる4つの重要な特徴に基づいている。
(i)バナッハ空間の近似特性。
(ii)バスティアーニの意味での連続微分可能性 ($k$-times continuous Fréchet differentiability)。
3) UA の自然コンパクト開位相は、実際、作用素ノルムによって誘導される標準コンパクト開位相の UA がフレシェ微分に対しても破られることを示す。
(4)UAのための新しい重み付きソボレフ空間の構築
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