論文の概要: From Product Hilbert Spaces to the Generalized Koopman Operator and the Nonlinear Fundamental Lemma
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.07494v1
- Date: Sun, 10 Aug 2025 21:57:16 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-08-12 21:23:28.883722
- Title: From Product Hilbert Spaces to the Generalized Koopman Operator and the Nonlinear Fundamental Lemma
- Title（参考訳）: 積ヒルベルト空間から一般化クープマン作用素と非線形基本補題へ
- Authors: Mircea Lazar,
- Abstract要約: 我々は、無限次元線型作用素、すなわち一般化されたクープマン作用素が存在することを証明した。
一般化されたクープマン作用素の有限次元近似を計算するスケーラブルなデータ駆動手法を提案する。
無限次元一般化クープマンモデルの双線型構造を利用して非線形基本補題を導出する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The generalization of the Koopman operator to systems with control input and the derivation of a nonlinear fundamental lemma are two open problems that play a key role in the development of data-driven control methods for nonlinear systems. Both problems hinge on the construction of observable or basis functions and their corresponding Hilbert space that enable an infinite-dimensional, linear system representation. In this paper we derive a novel solution to these problems based on orthonormal expansion in a product Hilbert space constructed as the tensor product between the Hilbert spaces of the state and input observable functions, respectively. We prove that there exists an infinite-dimensional linear operator, i.e. the generalized Koopman operator, from the constructed product Hilbert space to the Hilbert space corresponding to the lifted state propagated forward in time. A scalable data-driven method for computing finite-dimensional approximations of generalized Koopman operators and several choices of observable functions are also presented. Moreover, we derive a nonlinear fundamental lemma by exploiting the bilinear structure of the infinite-dimensional generalized Koopman model. The effectiveness of the developed generalized Koopman embedding is illustrated on the Van der Pol oscillator.
- Abstract（参考訳）: 制御入力を持つ系へのクープマン作用素の一般化と非線形基本補題の導出は、非線形系に対するデータ駆動制御法の開発において重要な役割を果たす2つの開問題である。
どちらも、観測可能あるいは基底関数の構成と、無限次元の線形系表現を可能にするヒルベルト空間に関するヒンジである。
本稿では、状態のヒルベルト空間と入力可観測関数の間のテンソル積として構築された積ヒルベルト空間における正則展開に基づいて、これらの問題に対する新しい解を導出する。
我々は、無限次元線型作用素、すなわち一般化されたクープマン作用素が存在することを証明した。
一般化されたクープマン作用素の有限次元近似と可観測関数のいくつかの選択を計算するためのスケーラブルなデータ駆動法についても述べる。
さらに、無限次元一般化クープマンモデルの双線型構造を利用して非線形基本補題を導出する。
一般化されたクープマン埋め込みの有効性は、Van der Pol発振器に示されている。
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