Fugu-MT 論文翻訳(概要): Optimal deep learning of holomorphic operators between Banach spaces

論文の概要: Optimal deep learning of holomorphic operators between Banach spaces

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2406.13928v2
Date: Wed, 30 Oct 2024 15:34:22 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2024-10-31 13:57:05.675012
Title: Optimal deep learning of holomorphic operators between Banach spaces
Title（参考訳）: バナッハ空間間の正則作用素の最適深度学習
Authors: Ben Adcock, Nick Dexter, Sebastian Moraga,
Abstract要約: 我々はバナッハ空間間の学習作用素の問題に取り組むが、これはヒルベルト空間のみを考える過去の研究の大多数とは対照的である。任意の近似エンコーダとデコーダを標準フィードフォワードディープニューラルネットワーク(DNN)アーキテクチャと組み合わせる。本稿では,この問題に対してDLが最適であることを示す。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6554326244334866
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Abstract: Operator learning problems arise in many key areas of scientific computing where Partial Differential Equations (PDEs) are used to model physical systems. In such scenarios, the operators map between Banach or Hilbert spaces. In this work, we tackle the problem of learning operators between Banach spaces, in contrast to the vast majority of past works considering only Hilbert spaces. We focus on learning holomorphic operators - an important class of problems with many applications. We combine arbitrary approximate encoders and decoders with standard feedforward Deep Neural Network (DNN) architectures - specifically, those with constant width exceeding the depth - under standard $\ell^2$-loss minimization. We first identify a family of DNNs such that the resulting Deep Learning (DL) procedure achieves optimal generalization bounds for such operators. For standard fully-connected architectures, we then show that there are uncountably many minimizers of the training problem that yield equivalent optimal performance. The DNN architectures we consider are `problem agnostic', with width and depth only depending on the amount of training data $m$ and not on regularity assumptions of the target operator. Next, we show that DL is optimal for this problem: no recovery procedure can surpass these generalization bounds up to log terms. Finally, we present numerical results demonstrating the practical performance on challenging problems including the parametric diffusion, Navier-Stokes-Brinkman and Boussinesq PDEs.
Abstract（参考訳）: 演算子学習問題は、物理系をモデル化するために部分微分方程式(PDE)が用いられる科学計算の多くの重要な領域で発生する。そのような場合、作用素はバナッハ空間とヒルベルト空間の間を写像する。本研究では,バナッハ空間間の学習作用素の問題を,ヒルベルト空間のみを考慮した過去の研究の大半とは対照的に解決する。我々は正則作用素の学習に焦点をあてる - 多くのアプリケーションにおいて重要な問題のクラスである。任意の近似エンコーダとデコーダを標準フィードフォワードディープニューラルネットワーク(DNN)アーキテクチャ(具体的には、深さを超える一定の幅を持つもの)と組み合わせ、標準$\ell^2$-loss最小化する。まずDNNの族を同定し、結果のディープラーニング(DL)手順がそのような演算子に対して最適な一般化バウンダリを実現する。標準の完全連結アーキテクチャでは、等価な最適性能をもたらすトレーニング問題の最小化要因が無数にあることを示す。私たちが考えるDNNアーキテクチャは'problem agnostic'であり、幅と深さはトレーニングデータ$m$の量に依存し、ターゲット演算子の正規性仮定に依存しない。次に、この問題に対してDLが最適であることを示す。最後に,パラメトリック拡散,Navier-Stokes-Brinkman,Boussinesq PDEsなどの問題に対する実用性能を示す数値的な結果を示す。

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