論文の概要: Tensor Cookbook: Mastering Tensors through Diagrams

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.16610v1
• Date: Fri, 15 May 2026 20:21:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-19 17:57:46.799962
• Title: Tensor Cookbook: Mastering Tensors through Diagrams
• Title（参考訳）: Tensor Cookbook: テンソルをダイアグラムでマスターする
• Authors: Beheshteh T. Rakhshan, Guillaume Rabusseau,
• Abstract要約: この写本はテンソルネットワークへの自己完結ガイドとテンソル代数での使用を提供する。 TNは元々ペンローズによって導入され、量子物理学で広く開発された。 TNは、グラフのエッジとして収縮を符号化し、表記のオーバーヘッドを減らし、インデックス表記で隠された構造的特性を明らかにする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.352764365348196
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: High-dimensional data arise naturally in many areas of science and engineering, including machine learning, signal processing, computational physics, and statistics. Such data are often represented as tensors, multi-dimensional generalizations of matrices. While tensors provide a natural representation for multi-modal structure, their direct manipulation quickly becomes challenging as the order grows: the number of parameters increases exponentially, and algebraic expressions involving many indices become difficult to interpret and implement. Tensor networks (TNs) provide an effective framework for addressing these challenges. Originally introduced by Penrose and developed extensively in quantum physics, the graphical language of tensor networks encodes contractions as edges in a graph, reducing notational overhead and revealing structural properties obscured by index notation. Despite the central role of high-dimensional tensors in modern machine learning and numerical analysis, tensor network diagrams remain underutilized outside quantum computing, partly due to the lack of a self-contained mathematical reference accessible to a broad technical audience. This manuscript provides a self-contained guide to tensor networks and their use in tensor algebra. We present the main operations on tensors, contractions, products, and reshaping through, graphical notation, and show how classical tensor decompositions and related computations are naturally expressed in this framework. We also illustrate how tensor networks simplify the derivation of gradients and the manipulation of high-dimensional probability distributions. Throughout, we show that the diagrammatic approach yields genuinely shorter and more transparent proofs of classical identities, rank bounds, and gradient formulas that would otherwise require laborious index manipulation.
• Abstract（参考訳）: 高次元データは、機械学習、信号処理、計算物理学、統計学など、科学と工学の多くの領域で自然に発生する。 このようなデータは、しばしばテンソル、行列の多次元一般化として表される。 テンソルはマルチモーダル構造に対する自然な表現を提供するが、順序が大きくなるにつれて直接の操作は急速に困難になり、パラメータの数は指数関数的に増加し、多くの指標を含む代数的表現は解釈や実装が困難になる。 テンソルネットワーク(TN)はこれらの課題に対処するための効果的なフレームワークを提供する。 テンソルネットワークのグラフィカル言語は、もともとペンローズによって導入され、量子物理学において広範囲に発展した。 現代の機械学習や数値解析における高次元テンソルの中心的な役割にもかかわらず、テンソルネットワーク図は量子コンピューティングの外では使われていない。 この写本はテンソルネットワークへの自己完結ガイドとテンソル代数での使用を提供する。 本稿では, テンソル, 収縮, 生成物, 変換, グラフィカル表記, および古典的テンソル分解と関連する計算が, このフレームワークでどのように自然に表現されるかを示す。 また、テンソルネットワークが勾配の導出や高次元確率分布の操作をいかに単純化するかを説明する。 全体を通して、ダイアグラム的アプローチは、より短く、より透明な古典的アイデンティティ、ランク境界、勾配公式の証明をもたらすことを示す。

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