論文の概要: Quadratically Regularized Optimal Transport: Localization Bounds and Affine Case Analysis
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.24644v2
- Date: Tue, 26 May 2026 07:42:35 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-27 17:51:41.080607
- Title: Quadratically Regularized Optimal Transport: Localization Bounds and Affine Case Analysis
- Title（参考訳）: 準正則な最適輸送:局在境界とアフィンケース解析
- Authors: Long Nguyen-Chi, Nam Nguyen, Binh Nguyen,
- Abstract要約: 有向ハウスドルフ距離において、QOT の支持は、$varepsilonfrac1d+2$ よりも早くモンジュグラフの周りに集中できないことを示す。
我々は, 自己輸送に問題を低減し, 近年の自己輸送疎結合結果を適用することにより, $varepsilonfrac1d+2$ の急激な点方向管束を導出する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.280045284812897
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Quadratic regularization has emerged as a potential alternative to the popular entropic regularization in computational optimal transport, offering the theoretical advantage of producing sparse couplings through its hinge density structure. Despite recent progress in one-dimensional settings and general upper bounds, fundamental questions about the localization rate of QOT optimizers around the Monge coupling have remained open. In this work, we establish a general lower bound showing that the support of the QOT optimizer cannot concentrate around the Monge graph faster than order $\varepsilon^{\frac{1}{d+2}}$ in the directed Hausdorff distance, matching the conjectured optimal exponent under standard regularity assumptions in \citet{wiesel2025sparsity}. We also show that the QOT value gap controls the mean-squared deviation $\mathbb E_{π_\varepsilon}\|y-T(x)\|^2$ by the scale of $\varepsilon^{\frac{2}{d+2}}$. As a corollary, in the affine Brenier regime, which includes Gaussian-to-Gaussian transport, we derive a sharp pointwise tube bound of order $\varepsilon^{\frac{1}{d+2}}$ by reducing the problem to self-transport and applying recent self-transport sparsity results. Finally, we validate our theoretical bound with a synthetic experiment in high-dimensional settings.
- Abstract（参考訳）: 二次正則化は、計算最適輸送における一般的なエントロピー正則化の代替として出現し、そのヒンジ密度構造を通じてスパースカップリングを生成する理論的利点を提供する。
1次元設定と一般上界の最近の進歩にもかかわらず、モンジュ結合周辺のQOTオプティマイザの局所化率に関する根本的な疑問は未解決のままである。
本研究では、QOTオプティマイザの支持が、有向ハウスドルフ距離において$\varepsilon^{\frac{1}{d+2}}$よりも高速にモンジュグラフの周りに集中できないことを示す一般的な下界を確立し、この予想された最適指数を \citet{wiesel2025sparsity} の標準正則性仮定の下で一致させる。
また、QOT値ギャップは平均二乗偏差$\mathbb E_{π_\varepsilon}\|y-T(x)\|^2$を$\varepsilon^{\frac{2}{d+2}}$のスケールで制御することを示した。
結論として、ガウス-ガウス間の輸送を含むアフィンブレニエ系では、問題を自己輸送に還元し、近年の自己輸送スパーシリティ結果を適用することにより、位数$\varepsilon^{\frac{1}{d+2}}$の鋭い点管束を導出する。
最後に,高次元環境下での合成実験による理論的バウンドの検証を行った。
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