論文の概要: Learning manifold diffusion semigroups from graph transition matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.25383v1
• Date: Mon, 25 May 2026 03:20:11 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-26 19:50:19.26777
• Title: Learning manifold diffusion semigroups from graph transition matrices
• Title（参考訳）: グラフ遷移行列から多様体拡散半群を学習する
• Authors: Xiuyuan Cheng, Nan Wu,
• Abstract要約: 多様体熱半群 $Q_t = et$ がグラフ遷移行列 $P$ を反復することによって直接近似できることを示す。 シミュレーションデータ上で提案した推定器の性能を数値的に示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 18.784763748323513
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider graph diffusion processes constructed from finite i.i.d. samples drawn from an unknown manifold embedded in ambient Euclidean space, where the graph affinity is defined by an ambient Gaussian kernel matrix. We show that the manifold heat semigroup $Q_t = e^{tΔ}$ can be approximated directly by iterating the graph transition matrix $P$, under only low regularity assumptions on the test function $f$, including the case $f \in L^\infty$. We bound $\| P^n f - Q_t f \|$ in $\infty$-norm, with the operator application to $f$ properly defined, and we recover the classical graph-Laplacian pointwise rate $O(N^{-2/(d+6)})$ up to logarithmic factors, for diffusion times $t $ up to $O(1)$ and longer. The rate holds for in-sample error as well as out-of-sample generalization, where the estimator of $Q_t f$ at a new point is defined via kernel convolution. To handle non-uniform sampling densities on the manifold, we introduce a right-normalization of the graph transition matrix; under the assumption that the sampling density $p$ is $C^3$ and bounded away from zero, the same convergence rates hold. We numerically demonstrate the performance of the proposed estimator on simulated data.
• Abstract（参考訳）: グラフの拡散過程は、周囲ユークリッド空間に埋め込まれた未知多様体から引き出された有限の標本から構成され、グラフ親和性は周囲ガウス核行列によって定義される。 多様体熱半群 $Q_t = e^{tΔ}$ は、グラフ遷移行列 $P$ を、テスト関数 $f$ 上の低正規性仮定のみの下で反復することにより直接近似できることを示す。 我々は、$\| P^n f - Q_t f \|$ in $\infty$-norm, with the operator application to $f$ properly defined, and recovery the classical graph-Laplacian pointwise rate $O(N^{-2/(d+6)}$ up to logarithmic factors, for diffusion times $t $ to $O(1)$ and longer。 サンプル内エラーとサンプル外一般化の比率は、新しい点における$Q_t f$の推定値がカーネルの畳み込みによって定義される。 多様体上の非一様サンプリング密度を扱うために、グラフ遷移行列の右正規化を導入する。 シミュレーションデータ上で提案した推定器の性能を数値的に示す。

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