論文の概要: Non-Archimedean Polydisc Spaces and Applications to Optimisation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.07782v1
• Date: Fri, 05 Jun 2026 18:52:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-09 14:42:05.390628
• Title: Non-Archimedean Polydisc Spaces and Applications to Optimisation
• Title（参考訳）: 非アルキメデス多面体空間と最適化への応用
• Authors: Paul Lezeau, Yiannis Fam, Anthea Monod, Yue Ren,
• Abstract要約: ベルコビッチ幾何学に着想を得た非アルキメデス空間を最適化するための新しい枠組みを提案する。 具体的には、非アルキメデス体上の閉球の積からなる多円板空間を導入する。 距離木がこれらの空間に自然に埋め込まれていることを示し、階層的なデータを表現する能力を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.0499611180329804
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We propose a new framework for optimisation over non-Archimedean spaces inspired by Berkovich geometry. Specifically, we introduce polydisc spaces, which consists of products of closed balls over a non-Archimedean field. These spaces retain the rigid hierarchical structure of the non-Archimedean field whilst acquiring many desirable geometric features absent from it. We show that metric trees embed naturally into these spaces, demonstrating their capacity to represent hierarchical data. We study their metric geometry, establishing properties such as geodesic uniqueness, confirming their comaptibility with classical optimisation techniques. We further propose a class of real-valued functions given by linear combinations of absolute values of polynomials. These functions admit a piecewise polynomial description along geodesics and satisfy a universal approximation property. We formulate a theory of optimisation on polydisc spaces: we prove existence of minimisers and explore algorithms for finding them. We provide an accompanying open-source Julia library implementing the core objects and optimisation procedures introduced.
• Abstract（参考訳）: ベルコビッチ幾何学に着想を得た非アルキメデス空間を最適化するための新しい枠組みを提案する。 具体的には、非アルキメデス体上の閉球の積からなる多円板空間を導入する。 これらの空間は非アルキメデス体の厳密な階層構造を保持し、それから多くの望ましい幾何学的特徴を得る。 距離木がこれらの空間に自然に埋め込まれていることを示し、階層的なデータを表現する能力を示す。 幾何幾何学を研究、測地学的特異性などの特性を確立し、古典的な最適化手法で適合性を確認する。 さらに、多項式の絶対値の線形結合によって与えられる実数値関数のクラスを提案する。 これらの関数は測地線に沿った断片的な多項式記述を持ち、普遍近似特性を満たす。 我々は、ポリディスク空間における最適化の理論を定式化し、ミニミザーの存在を証明し、それらを見つけるアルゴリズムを探索する。 導入したコアオブジェクトと最適化手順を実装した,オープンソースのJuliaライブラリを提供する。

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