論文の概要: Geometric bias in eigenspace perturbation under random heterogeneous noise

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.11263v1
• Date: Tue, 09 Jun 2026 03:50:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-11 16:42:38.093625
• Title: Geometric bias in eigenspace perturbation under random heterogeneous noise
• Title（参考訳）: ランダム不均一雑音下における固有空間摂動の幾何学的バイアス
• Authors: Fengkai Liu, Ke Wang, Wanjie Wang,
• Abstract要約: スペクトル法は、ランダム摂動の下での主固有空間の安定性に依存する。 古典的には、この安定性はデービス=カーンとヴェーディンの定理によって定量化される。 不均一なノイズ分散の下では、経験的固有ベクトルは系統的、決定論的幾何学的バイアスを被る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.5484436411433573
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Spectral methods rely fundamentally on the stability of principal eigenspaces under random perturbations. Classically, this stability is quantified by the Davis-Kahan and Wedin theorems, which bound the eigenspace error using the operator norm of the noise and the relevant spectral gaps. While these worst-case bounds are sharp for arbitrary deterministic perturbations, they can be wasteful in the low-rank signal-plus-random-noise setting, as they fail to capture the fine-grained interaction between the signal geometry and the noise distribution. In this paper, we study the spectral perturbation of signal-plus-noise matrices corrupted by sparse, random noise with an arbitrary, inhomogeneous variance profile. We demonstrate that under heterogeneous noise variances, the empirical eigenvectors suffer a systematic, deterministic geometric bias that is entirely invisible to classical perturbation bounds. By leveraging the Quadratic Vector Equation (QVE) and establishing fine-grained isotropic local laws, we derive near-optimal, non-asymptotic perturbation bounds for the leading eigenspaces in the operator and $2\to\infty$ norms. The bounds separate the usual signal-to-noise contribution, stochastic fluctuations, and structured geometric bias terms determined by the alignment between the signal eigenspaces and the row-wise variance profile.
• Abstract（参考訳）: スペクトル法は、ランダム摂動の下での主固有空間の安定性に基本的に依存する。 古典的には、この安定性は、ノイズの作用素ノルムと関連するスペクトルギャップを使って固有空間誤差を束縛するデイビス=カーンとヴェーディンの定理によって定量化される。 これらの最悪のケース境界は任意の決定論的摂動に対して鋭いが、信号幾何学と雑音分布の間のきめ細かい相互作用を捉えるのに失敗するため、低ランクな信号+ランダムノイズ設定では無駄である。 本稿では,任意の不均質な分散プロファイルを持つスパース・ランダムノイズにより劣化した信号+雑音行列のスペクトル摂動について検討する。 不均一なノイズ分散の下では、経験的固有ベクトルは、古典的な摂動境界に完全に見えない、体系的で決定論的幾何学的バイアスを被る。 QVE ( Quadratic Vector Equation) を利用し、きめ細かい等方的局所法則を確立することにより、作用素の先頭固有空間と 2 to\infty$ ノルムに対して、準最適で漸近的でない摂動境界を導出する。 境界は、通常の信号対雑音寄与、確率的ゆらぎ、および信号固有空間と行単位の分散プロファイルのアライメントによって決定される構造的幾何学的バイアス項を分離する。

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