論文の概要: Mirror Descent Beyond Euclidean Stability: An Exponential Separation in Initialization Sensitivity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.11431v1
• Date: Tue, 09 Jun 2026 20:33:01 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-11 16:42:38.173118
• Title: Mirror Descent Beyond Euclidean Stability: An Exponential Separation in Initialization Sensitivity
• Title（参考訳）: ユークリッド安定性を超える鏡の輝き-初期化感度の指数分離
• Abstract要約: Mirror Descent (MD) はユークリッド幾何学を超越したグラディエント・Descent (GD) を拡張している。 MDダイナミクスは入力にどの程度敏感か? シンプレックス上の標準KL正規化MDの場合、線形目的でさえ初期$varepsilon$摂動を指数関数的に高速に増幅できることが示される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 23.519129043938758
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Mirror Descent (MD) extends Gradient Descent (GD) beyond Euclidean geometry and has recently reappeared as a lens for KL-regularized policy optimization in reinforcement learning and LLM post-training. This raises a basic robustness question, crucial to reproducibility and reliability: how sensitive are MD dynamics to their inputs? We focus on initialization, often itself a pretrained or previously aligned model. Quadratic-regularized MD, including GD and Mahalanobis geometries, is well-known to be stable for convex smooth objectives. We show a sharp contrast: once the regularizer is non-quadratic, MD can be exponentially more sensitive to initialization than GD, even with a well-conditioned regularizer in Euclidean norm. We give a three-dimensional construction with a convex, smooth objective and a strongly convex, smooth, well-conditioned regularizer where an initial $\varepsilon$ perturbation is quickly amplified to $\min\{\text{polylog}^{-1}(1/\varepsilon), \varepsilon e^{Ω(ηT)}\}$ after $T$ iterations of MD with step size $η$. For canonical KL-regularized MD on the simplex, we show that even linear objectives can amplify an initial $\varepsilon$ perturbation exponentially fast in high-dimensional or near-boundary regimes. Finally, we show that adding a Bregman regularization term toward an anchor point can stabilize the dynamics while largely preserving the optimization guarantees, and that the choice of anchor is crucial: anchoring at the initialization only partially mitigates the instability, whereas anchoring at a fixed point yields a more stable mechanism.
• Abstract（参考訳）: Mirror Descent (MD) はユークリッド幾何学を超えてグラディエントDescent (GD) を拡張し、最近、強化学習とLLMポストトレーニングにおけるKL正規化ポリシー最適化のためのレンズとして再登場した。 これにより、再現性と信頼性に不可欠な基本的な堅牢性に関する疑問が提起される。 私たちは初期化に重点を置いています。 GDやマハラノビス測地を含む準正則MDは、凸滑らかな対象に対して安定であることが知られている。 我々は鋭いコントラストを示す: 正則化器が非四角形となると、MDはユークリッドノルムのよく条件付けられた正則化器であっても、GDよりも指数関数的に初期化に敏感になる。 ここでは、初期$\varepsilon$摂動をすぐに$\min\{\text{polylog}^{-1}(1/\varepsilon), \varepsilon e^{Ω(ηT)}\} に増幅する。 単純体上の標準KL正規化MDに対して、線形目的でさえ、高次元あるいは近有界な状態において指数関数的に高速な初期$\varepsilon$摂動を増幅できることが示される。 最後に、アンカー点へのブレグマン正規化項の追加は、最適化保証を大きく保ちながら力学を安定化させ、アンカーの選択が重要であることを示し、初期化でのアンカーは不安定性を部分的に緩和する一方、固定点でのアンカーはより安定した機構をもたらす。

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