論文の概要: Reliable Error Estimation for PINNs: Lower and Upper A Posteriori Bounds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.12050v1
• Date: Wed, 10 Jun 2026 13:15:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-11 16:42:38.464989
• Title: Reliable Error Estimation for PINNs: Lower and Upper A Posteriori Bounds
• Title（参考訳）: PINNの信頼な誤差推定:下・上A境界
• Authors: Ismail Huseynov, Arzu Ahmadova, Agamirza Bashirov,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、機械学習と物理法則を組み合わせて微分方程式を解く。 適切な状態空間領域上での常微分方程式におけるPINN誤差に対する計算可能なエンファの下位境界を導出する。 得られた境界は、ニューラルネットワーク近似、ODE残差、局所単調性および成長定数にのみ依存する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Physics-informed neural networks (PINNs) combine machine learning with physical laws to solve differential equations. While existing results provide rigorous \emph{a posteriori} upper bounds for PINN prediction errors, complete certification also requires complementary lower information in order to obtain computable two-sided error enclosures. In this paper, we derive computable \emph{a posteriori} lower bounds for PINN errors in ordinary differential equations on suitable certified state-space domains under a localized strong monotonicity condition. We combine these estimates with complementary localized upper bounds under a one-sided Lipschitz condition, which is weaker than the global Lipschitz assumption used in previous work and can yield sharper upper error bands. The resulting bounds depend only on the neural-network approximation, the ODE residual, and local monotonicity and growth constants, and therefore do not require access to the exact solution. For linear time-invariant and time-varying systems, we further derive explicit formulas in terms of the minimal and maximal eigenvalues of the symmetric part of the system matrix. We also discuss the distinction between soft and hard enforcement of initial conditions in PINNs and explain why exact enforcement can make the scalar lower certificate uninformative. To recover nontrivial lower information in the linear setting, we use a signed-residual finite-probe certificate based on coordinate unit vectors. We also formulate a certificate-informed training strategy in which the propagated upper certificate is used as an auxiliary regularizer, while lower certificates remain post-training diagnostics. Altogether, the proposed framework provides rigorous and practically computable error certificates for PINN approximations of ODEs, while making explicit the domains and model classes for which the assumptions can be verified.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、機械学習と物理法則を組み合わせて微分方程式を解く。 既存の結果は、PINN予測エラーに対して厳密な \emph{a reari} 上界を提供するが、完全認証は計算可能な二面誤差囲いを得るために補完的な下限情報も必要である。 本稿では,局所化強単調性条件下での適切な状態空間上の常微分方程式におけるPINN誤差に対する計算可能 \emph{a reari} 下位境界を導出する。 これらの推定を片側リプシッツ条件下での相補的局所化上界と組み合わせ、これは以前の研究で使われる大域リプシッツ仮定よりも弱く、よりシャープな上誤差帯域が得られる。 得られた境界は、ニューラルネットワーク近似、ODE残差、局所単調性および成長定数にのみ依存するため、正確な解にアクセスする必要はない。 線形時間不変系や時間不変系に対しては、系行列の対称部分の極小および極大固有値の観点から明示的な公式を導出する。 また,PINNにおける初期条件のソフトとハードの厳密さの区別についても検討し,スカラーの低い証明書が不形式化される理由を説明する。 線形設定における非自明な低次情報を復元するために、座標単位ベクトルに基づく符号付き残差有限プローブ証明書を用いる。 また,提案する上位証明書を補助的正則化器として使用し,下位証明書を訓練後の診断に用いながら,認証インフォームドトレーニング戦略を定式化する。 提案するフレームワークは,ODEのPINN近似に対して,厳密で実用的な計算可能なエラー証明を提供するとともに,仮定を検証可能なドメインとモデルクラスを明確にする。

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