論文の概要: Flood and Harvest: The Provable Necessity of Trivia for Generating Valuable Mathematics via the Lens of Language Generation in the Limit

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.14688v1
• Date: Fri, 12 Jun 2026 17:52:24 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-15 16:00:43.02381
• Title: Flood and Harvest: The Provable Necessity of Trivia for Generating Valuable Mathematics via the Lens of Language Generation in the Limit
• Title（参考訳）: フラッドとハーベスト:限界における言語生成のレンズによる有意義な数学を生成するためのトリビアの必要性
• Authors: Xiaoyu Li, Andi Han, Dai Shi, Zheng Gao, Jiaojiao Jiang, Junbin Gao,
• Abstract要約: 我々は,有意義な数学の生成を,その限界においてネストされた言語生成としてモデル化する。 すべての出力は価値(H$)、自明(Fset H$)、幻覚(F$)である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 42.15597840680038
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: AI systems coupled to proof assistants now generate formal mathematics at scale, and the gap between what a checker can verify and what a mathematician would value has become the binding constraint. We model the generation of valuable mathematics as nested language generation in the limit: a verifiable formal language $F$, accessed through a membership oracle (the proof checker), contains an unknown valuable language $H \in \mathcal{H}$ revealed only through an adversarial enumeration of a core $C \subseteq H$ of exact density $α$ (the literature). Every output is valuable ($\in H$), trivial ($\in F \setminus H$), or a hallucination ($\notin F$). We settle four questions. First, the verifier is not taste: the collections admitting generation with breadth are exactly those of the oracle-free model, characterized fiber-wise by Angluin's condition. Second, the verifier does buy sound coverage, covering all unseen valuable statements while asserting only valid ones: possible with it, impossible without it; it relocates unavoidable errors from false to trivial. Third, and centrally, a sharp dichotomy on the tight family: generators emitting finitely many trivia achieve optimal coverage $α/2$, while any infinite trivia allowance, even at vanishing rate, jumps the optimum to $1-α/2$ (both tight, for cores presented as the candidate intersection), and one generator attains both ends. The transition is in trivia count, not rate; the gap $1-α$ is the unrecorded mass. Fourth, both regimes instantiate in a compression model of mathematics. A perfect verifier cannot substitute for taste: the unbounded stream of correct-but-worthless statements is not an engineering accident but a provable necessity, since covering unrecorded valuable mathematics requires an infinite, but asymptotically negligible, stream of certified trivia.
• Abstract（参考訳）: 証明アシスタントに結合されたAIシステムは、大規模に公式な数学を生成するようになり、チェッカーが検証できるものと数学者が値するものとの間のギャップが、バインディング制約になった。 検証可能な形式言語$F$は、メンバーシップオラクル(証明チェッカー)を通してアクセスされ、未知の貴重な言語$H \in \mathcal{H}$を含み、コアの$C \subseteq H$の正密度$α$の対数列挙によってのみ示される。 すべてのアウトプットは価値($\in H$)、自明($\in F \setminus H$)、幻覚($\notin F$)である。 私たちは4つの質問に答える。 第一に、検証者は味ではなく、幅のある生成を認めるコレクションは、正確には、アングルンの条件によって繊維的に特徴づけられる、オラクルのないモデルのものである。 第二に、検証者は音のカバレッジを購入し、有効なもののみを主張しながら、見当たらないすべてのステートメントをカバーします。 有限個のトリビアを放出するジェネレータは最適なカバレッジを最大$α/2$を達成するが、無限のトリビア許容度は消えても、最適値が1-α/2$にジャンプする(どちらも候補交点として提示されるコアに対してきつい)。 遷移はトリビア数であり、レートではなく、ギャップ1-α$は記録されていない質量である。 第4に、両体制は数学の圧縮モデルにおいてインスタンス化される。 完全検証器は、味に代わることができない: 正当だが無意味な文の非有界ストリームは、工学的な事故ではなく、証明可能な必要性である。

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