論文の概要: Odds Law: The Decomposition Algebra On How Intelligence Organizes Itself to Solve Difficult Problems Reliably
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.15712v1
- Date: Sun, 14 Jun 2026 09:53:11 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-16 16:21:33.803783
- Title: Odds Law: The Decomposition Algebra On How Intelligence Organizes Itself to Solve Difficult Problems Reliably
- Title（参考訳）: Odds Law: 人工知能がいかにして難しい問題を確実に解決するかに関する議論
- Abstract要約: 信頼性は、合成によって配置された独立した情報で購入され、検証者によって拘束されることを示す。
つまり、信頼性は自由でも魔法でもなく、独立した情報で購入され、構成によって配置され、検証者によって拘束される。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5414847001704247
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We ask a structural question: given unreliable elementary problem-solvers, what organizations of them solve hard problems reliably, and what are the limits? We develop a $decomposition~algebra$: elementary solvers are morphisms in a stochastic category, and four combinators (sequential composition, parallel ensembling, verification gating, and recursive reduction) generate the space of compound solvers. We equip this algebra with two homomorphisms, a $reliability$ valuation into the ordered monoid $([0,1],\le)$ and a $cost$ valuation into a commutative semiring, and we derive the composition laws that govern how reliability flows through structure. Our central results are (i) a $verification~odds~law$ (the result that names this report), showing that a verification gate multiplies the odds of correctness by the verifier's likelihood ratio $Λ$, so that $k$ conditionally independent gates yield geometric amplification; (ii) a $reliability~amplification~theorem$, giving target reliability $1-δ$ at $O(\log 1/δ)$ verification depth whenever $Λ>1$; and (iii) a $threshold~dichotomy$: above the critical parameters reliability can be driven arbitrarily close to one at logarithmic cost, while at or below them no amplification is possible. We then show that $self-organization$ is the least fixed point of a monotone improvement operator on the complete lattice of strategies, and that this fixed point equalizes marginal log-odds gain per unit cost. Finally, we prove matching limits: an information ceiling bounds per-gate amplification by a divergence quantity; shared error causes create a strictly positive voting floor, so diversity is $necessary$ for unbounded amplification. Reliability, in short, is neither free nor magical: it is bought with independent information, arranged by composition, and bounded by the verifier.
- Abstract（参考訳）: 信頼できない初等的問題解決者が与えられたら、その中のどの組織がハードな問題を確実に解決し、限界は何だろうか?
基本解体は確率圏の射であり、4つのコンビネータ(逐次合成、並列アンサンブル、検証ゲーティング、再帰還元)は複素解体の空間を生成する。
この代数に2つの準同型を持たせる:$reliability$ valuation を順序付きモノイド $([0,1],\le)$ に、$$$ valuation を可換半環に、そして、構造を通して信頼性がどのように流れるかを決定する構成法則を導出する。
私たちの中心的な成果は
(i)$verification~odds~law$(このレポートに名前をつけている結果)は、検証ゲートが検証器の確率比$$$$で正しさの確率を乗じて、$k$条件付き独立ゲートが幾何増幅をもたらすことを示す。
(ii) $-δ$ at $O(\log 1/δ)$ veridation depth when $ >1$; そして、ターゲットの信頼性を提供する$-δ$
(iii)$threshold~dichotomy$: 臨界パラメータの上に、信頼性は対数コストで任意に駆動できるが、それ以下では増幅は不可能である。
すると、$self-organization$は戦略の完全な格子上の単調改善作用素の最小固定点であり、この固定点が単位コスト当たりの辺対数ゲインを等しくすることを示した。
最後に、情報天井がゲートごとの増幅をばらつき量で束縛し、共有エラーが厳密な正の投票フロアを生じさせるので、ダイバーシティは非有界増幅のために必要$$$$である。
信頼性は、簡単に言えば、自由でも魔法でもなく、独立した情報で購入され、構成によって配置され、検証者によって拘束される。
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