論文の概要: The Reverse Telescoping Coordinate System for Positive Definite Matrices: Geometry, Computation, and Generative Modeling

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.15442v1
• Date: Sat, 13 Jun 2026 19:18:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-16 16:21:33.574661
• Title: The Reverse Telescoping Coordinate System for Positive Definite Matrices: Geometry, Computation, and Generative Modeling
• Title（参考訳）: 正定値行列に対する逆テレスコープコーディネートシステム:幾何学・計算・生成モデリング
• Authors: Anindya Bhadra,
• Abstract要約: 我々は、$ptimes p$ symmetric positive definite (SPD) matrix $$ を写像 $(x)=rmRT(x)$, with $x=(v,d,r)inmathbbRtimesmathbbR(p-1)timesmathbbRp(p-1)/2$ で表現する新しい非制約座標系を設計する。 この構成は、例えば、ジャコビアンのような行列対数のような他のチャートで利用できない重要な性質をもたらす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.451964963586459
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We design a new unconstrained coordinate system where a $p\times p$ symmetric positive definite (SPD) matrix $Θ$ is represented by a reverse telescoping map $Θ(x)=\rm{RT}(x)$, with $x=(v,d,r)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{(p-1)}\times\mathbb{R}^{p(p-1)/2}$, representing respectively the log volume or log determinant; and the shape, as encoded by log relative diagonal scales and partial covariances among the nodes. This construction results in important properties not available in other charts, e.g., matrix logarithm, such as Jacobian depending on only the log-determinant. A useful feature of our construction is $x$ contains a lossless symbolic representation of both the matrix and its inverse. Many important computations involving a matrix and its inverse can be performed in $O(p^2)$ in the transformed domain, while it is the rendering of results in matrix forms (on demand) that must incur an $O(p^3)$ cost. Moreover, two unit-determinant matrices in the transformed domain can be joined by a straight line with pathwise unit determinant. For generative modeling, this allows designing a split volume-shape flow model trained by conditional flow matching for transporting the shape over the unit-determinant path, with a separate one-dimensional flow for transporting the volume or the determinant. The forbidding SPD constraint, tamed thus into a powerful guiding force, leads to the surprising insight that it is in some sense easier to design a volume-normalized shape flow for SPD compared to the unconstrained $\mathbb{R}^{p\times p}$, with no intrinsic notion of volume to aid normalization, unlike the determinant of SPD matrices. We apply our construction for up to $p=200$ in generative modeling of SPD matrices on a difficult synthetic bimodal target, and in generating brain connectivity networks by models trained on fMRI data; as well as in intrinsic diffusion on the SPD manifold.
• Abstract（参考訳）: 我々は、$p\times p$ symmetric positive definite (SPD) 行列 $ $ を逆テレスコープ写像 $(x)=\rm{RT}(x)$, with $x=(v,d,r)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{(p-1)}\times\mathbb{R}^{p(p-1)/2}$ で表現する新しい非制約座標系を設計する。 この構成は、ログ決定式のみに依存するヤコビアンのような他のチャート、例えば行列対数では利用できない重要な性質をもたらす。 我々の構成の有用な特徴は、$x$ は行列とその逆数の損失のない記号表現を含むことである。 行列とその逆数を含む多くの重要な計算は変換された領域において$O(p^2)$で行うことができ、一方で、$O(p^3)$コストを必要とする行列形式(オンデマンド)における結果のレンダリングである。 さらに、変換領域内の2つの単位行列を経路単位行列式で直線で結合することができる。 生成的モデリングでは、単位決定経路上の形状を輸送するための条件付きフローマッチングによって訓練された分割体積形状のフローモデルを、体積または決定要素を輸送する独立した1次元フローで設計することができる。 SPD の制約は、SPD 行列の行列式とは異なり、非制約の $\mathbb{R}^{p\times p}$ よりも SPD の容積正規化フローを設計することがより容易である、という驚くべき洞察をもたらす。 我々は,fMRIデータで訓練されたモデルによる脳の接続ネットワークの生成や,SPD多様体上での固有拡散において,SPD行列の生成モデルとして最大$200=200$の構成を適用した。

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