論文の概要: Brownian Kernel Ladders

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.15812v1
• Date: Sun, 14 Jun 2026 13:27:28 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-16 16:21:33.868025
• Title: Brownian Kernel Ladders
• Title（参考訳）: Brownian (複数形 Brownians)
• Abstract要約: 積分再生カーネルヒルベルト空間の階層構造であるブラウンカーネルはしご(BKL)を導入する。 BKL空間は準バナッハ空間を形成し、深さ依存的なハルダー正則性推定を満足し、深さに関して厳密な単調性を示す。 本結果は,ディープラーニングにおける合成表現を研究するための数学的に抽出可能な階層型関数空間フレームワークを提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.924521334514384
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Constructing mathematically tractable function spaces that capture hierarchical compositional representations remains a central challenge in statistical learning theory. We introduce Brownian kernel ladders (BKLs), a recursively defined hierarchy of integral reproducing kernel Hilbert spaces generated through Brownian-kernel integral constructions. Starting from linear functionals, each layer is obtained by integrating Brownian kernels over probability measures supported on subsets of the previous layer, yielding a recursive function-space model in which depth is encoded directly through the hierarchy. Based on this framework, we define canonical BKL spaces together with an associated complexity functional. We establish several analytical and statistical properties of these spaces. In particular, we show that BKL spaces form quasi-Banach spaces, satisfy depth-dependent Hölder regularity estimates, and exhibit strict monotonicity with respect to depth. We further prove existence results for regularized empirical risk minimization and derive Gaussian complexity bounds that remain uniformly controlled with respect to both the ambient dimension and the hierarchy depth. A key ingredient of the analysis is a combinatorial proof technique based on recursive subset decompositions and Brownian-kernel threshold representations. These estimates yield excess-risk guarantees of near-parametric order for regularized empirical risk minimization over BKL spaces. Our results provide a mathematically tractable hierarchical function-space framework for studying compositional representations in deep learning.
• Abstract（参考訳）: 階層的な構成表現を捉える数学的に抽出可能な関数空間を構築することは、統計学習理論における中心的な課題である。 ブラウン-カーネル積分構造から生成される積分再生カーネルヒルベルト空間の帰納的に定義された階層であるブラウンカーネルはしご(BKLs)を導入する。 線形汎函数から始めると、各層は前層のサブセット上で支持される確率測度上でブラウン核を統合することで得られる。 この枠組みに基づいて、標準的なBKL空間と関連する複雑性関数を定義する。 これらの空間のいくつかの解析的および統計的性質を確立する。 特に、BKL空間が準バナッハ空間を形成し、深さ依存のヘルダー正則性推定を満足し、深さに関して厳密な単調性を示すことを示す。 さらに、正規化された経験的リスク最小化と、周囲次元と階層深さの両方に関して一様に制御されたガウス複雑性境界の導出について、その存在を証明した。 この分析の重要な要素は、再帰的部分分解とブラウン-カーネルしきい値表現に基づく組合せ証明技術である。 これらの推定は、BKL空間上の正規化された経験的リスク最小化に対して、ほぼパラメトリックな順序の余剰リスクを保証する。 本結果は,ディープラーニングにおける合成表現を研究するための数学的に抽出可能な階層型関数空間フレームワークを提供する。

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