論文の概要: A Zeroth-Order Deep Learning Method for Fully Nonlinear Parabolic Partial Differential Equations with Unknown Coefficients

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.24999v1
• Date: Tue, 23 Jun 2026 16:04:43 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-25 21:36:10.196255
• Title: A Zeroth-Order Deep Learning Method for Fully Nonlinear Parabolic Partial Differential Equations with Unknown Coefficients
• Title（参考訳）: 未知係数をもつ完全非線形放物偏微分方程式のゼロ階深層学習法
• Authors: Yanwei Jia, Du Ouyang, Huyên Pham, Xun Yu Zhou,
• Abstract要約: 未知係数を持つ高重み付き部分次元微分方程式(PDE)は機械学習において広く現れる。 既存のディープラーニング解法はしばしば微分演算子を評価するために繰り返し自動微分に依存する。 データ生成機構として2種類のシミュレータを導入し、基礎となるPDE演算子にアクセス可能な設定下でソリューションとそのデリバティブを学習する「表現型学習」アプローチを採用する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.693122506667716
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: High-dimensional partial differential equations (PDEs) with unknown coefficients arise widely in scientific machine learning, including continuous-time reinforcement learning, yet solving them efficiently in a data-driven way remains challenging. Existing deep learning solvers often rely on repeated automatic differentiation to evaluate differential operators, which can cause instability and amplify derivative errors in high dimensions, while probabilistic methods based on stochastic representations require explicit knowledge of the data-generating dynamics and therefore do not apply to black-box environments. We introduce two types of simulators as data-generating mechanisms, and take a ``representing-then-learning" approach that learns the solutions and their derivatives under settings where the underlying PDE operators are accessible only through simulations and pointwise evaluations. Our representation of derivatives relies on the zeroth-order derivative (ZOD) estimators derived from perturbed Monte Carlo trajectories. This fully model-free approach generates targets for the gradient and Hessian networks using only function evaluations. We provide a statistical learning analysis of the proposed approach, including a bias--variance tradeoff for ZODs. Assuming a standard contraction property of the underlying operator, we establish a non-asymptotic error bound that decomposes the total error into discretization error, approximation error, statistical error, and ZOD bias. Crucially, we derive the sample complexity of the learned representations in (weighted) Sobolev space, characterizing the error up to second-order derivatives. Numerical experiments illustrate the competitive performance of the method in moderate and high dimensions.
• Abstract（参考訳）: 未知係数を持つ高次元偏微分方程式(PDE)は、連続時間強化学習を含む科学機械学習において広く現れるが、データ駆動方式で効率的に解くことは困難である。 既存のディープラーニング解法は、しばしば微分演算子を評価するために繰り返し自動微分に依存し、不安定性を引き起こし、高次元の微分誤差を増幅するが、確率的表現に基づく確率的手法はデータ生成力学の明示的な知識を必要とするため、ブラックボックス環境には適用されない。 データ生成機構として2種類のシミュレータを導入し、基礎となるPDEオペレータがシミュレーションやポイントワイズ評価によってのみアクセス可能な設定下で、ソリューションとそのデリバティブを学習する `representing-then-learning" アプローチを採用する。 微分の表現は、摂動モンテカルロ軌道から導かれるゼロ階微分(ZOD)推定器に依存している。 この完全モデルフリーなアプローチは、関数評価のみを用いて勾配とヘッセンネットワークのターゲットを生成する。 本稿では,ZODに対するバイアス分散トレードオフを含む,提案手法の統計的学習分析を行う。 演算子の標準的な収縮特性を仮定すると、総誤差を離散化誤差、近似誤差、統計誤差、ZODバイアスに分解する非漸近誤差境界を確立する。 重要なことは、(重み付けされた)ソボレフ空間における学習された表現のサンプル複雑性を導出し、二階微分の誤差を特徴づける。 数値実験は、中等度および高次元における手法の競合性能を例証する。

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