論文の概要: All you need is log

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.27349v1
• Date: Thu, 25 Jun 2026 17:54:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-26 18:46:32.394139
• Title: All you need is log
• Title（参考訳）: 必要なのはログだけだ。
• Abstract要約: 次数 $in[0,infty]$ の Rényi の発散は、データ処理および独立製品への添加物の下でのユニークな族単調であることを示す。 マルチポピュレーションフェアネス、マルチプライオリティのPAC-Bayes境界、マルチハイプテシステスト、そして正しいマルチディストリビューションの一般化という2つ以上の分布を一度に比較することは、オープンな問題である。 カルモゴロフ=ナグモ(Kolmogorov-Nagumo)は、レニイのエントロピー公理学、古典的エントロピー的特徴、マルチヒポテシステスト誤差指数を持つことを意味する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.42671348654734564
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Comparing two probability distributions is a basic building block of statistics and machine learning, and the right family is well understood: the Rényi divergences of order $α\in[0,\infty]$ are the unique family monotone under data processing and additive on independent products. Many problems instead compare more than two distributions at once -- multi-population fairness, multi-prior PAC-Bayes bounds, multi-hypothesis testing -- and the right multi-distribution generalization of the Rényi family has been an open question. We characterize it. Every functional of $W$-tuples of distributions that is monotone under data processing and additive on independent products is a positive integral of multi-way coincidence divergences $C_α(π_1,\dots,π_W) := -\log\int π_1^{α_1}\cdotsπ_W^{α_W}$ (with $\sum_k α_k = 1$) over a parameter space with four strata: the simplex interior; mixed-sign exponent cones (the analogue of Rényi orders $>1$); a tropical boundary at infinity carrying max-divergences; and pairwise Kullback-Leibler edges at the simplex vertices. Each stratum is necessary -- the destination of an explicit data-processing-monotone, product-additive divergence the others cannot reproduce -- and each is a clean limit of simplex-interior atoms. The same family arises from five independent routes -- the structural axioms, Kolmogorov-Nagumo means with Rényi's entropy axiomatics, classical entropy characterizations, multi-hypothesis testing error exponents, and a multi-lottery betting interpretation -- structural evidence that this is the canonical multi-distribution Rényi calculus rather than an artefact of any one axiomatic input. The two-prior case recovers the standard Rényi result; a worked $W=3$ instance, numerical verification, and a conditional extension round out the treatment.
• Abstract（参考訳）: 2つの確率分布を比較することは統計学と機械学習の基本的な構成要素であり、正しいファミリーはよく理解されている。 多くの問題は同時に2つ以上の分布(マルチポピュレーションフェアネス、マルチプライオリティPAC-Bayes境界、マルチハイプテシステスト)を比較し、レニイ族の正しいマルチディストリビューション一般化はオープンな問題である。 私たちはそれを特徴付けます。 データ処理の下で単調で独立生成物への添加物である$W$-tuplesのすべての関数は、多方向の一致の正の積分である: $C_α(π_1,\dots,π_W) :== -\log\int π_1^{α_1}\cdotsπ_W^{α_W}$($\sum_k α_k = 1$) 四層空間上のパラメータ空間:単純体、混合符号指数錐(Rényi の次数 $>1$ の類似)、極値の無限大での熱帯境界。 各層は、明示的なデータ処理モノトーンの目的地であり、他の層は再生できない積加法分岐の目的地であり、それぞれの層は単純な原子間原子の清浄な限界である。 同じ家系は、構造公理、コルモゴロフ=ナグモという5つの独立した経路から生じており、レニイのエントロピー公理学、古典的エントロピー的特徴、多仮説テスト誤差指数、および多変数のベッティング解釈を持つ。 2つのプライマリなケースは、標準的なレニイの結果を回復する; W=3$のインスタンス、数値検証、条件付き拡張が処理を丸めている。

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