論文の概要: Geometric Dyson Brownian Motions and the Free Log-Normal Limit for a Non-Square Product of Random Matrices
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.30831v1
- Date: Mon, 29 Jun 2026 19:01:43 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-01 18:27:18.988908
- Title: Geometric Dyson Brownian Motions and the Free Log-Normal Limit for a Non-Square Product of Random Matrices
- Title（参考訳）: ランダム行列の非二乗積に対する幾何学的ダイソンブラウン運動と自由対数ノルマル極限
- Abstract要約: 非二乗ランダム行列の積の平方特異値スペクトルについて検討する。
まず、固定されたデータ点の個数$m$と、比例深さ幅$d,n$の制限を取り、結果の共分散固有値過程がダイソン・ブラウン運動の幾何版を満たすことを示す。
また, 制約スペクトル法則を用いて, 有限次元シミュレーションとの密接な一致を見いだし, おもちゃのランダムな回帰リスクを予測する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.32927490081994
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the squared singular value spectrum of a product of non-square random matrices, a setting that also corresponds to the feature covariance eigenvalues of a deep linear neural network at initialization. We first take a proportional depth-width $d,n$ limit with the number of data points $m$ held fixed, and show that the resulting covariance eigenvalue process satisfies a geometric version of Dyson Brownian motion. We then take a second, sequential mean-field limit corresponding to the scaling $dm/n\to\barτ$, and show that the limiting $T$-transform of the spectrum solves a Burgers equation. In the identity-start case this equation yields the free log-normal law, and the general limit is obtained by free multiplicative convolution with the free log-normal. We further obtain the free log-normal support formula, a fixed-point iteration for numerical evaluation, and a formal small-time Marchenko--Pastur approximation. We also use the limiting spectral law to predict a toy random-feature regression risk, finding close agreement with a finite-dimensional simulation.
- Abstract（参考訳）: 非二乗確率行列の積の平方特異値スペクトルについて検討し、これは初期化時のディープ線形ニューラルネットワークの特徴共分散固有値に対応する設定である。
まず、固定されたデータ点の個数$m$と、比例深さ幅$d,n$の制限を取り、結果の共分散固有値過程がダイソン・ブラウン運動の幾何版を満たすことを示す。
次に、スケーリングの$dm/n\to\barτ$に対応する2番目の連続平均場極限をとり、スペクトルの制限である$T$-変換がバーガーズ方程式を解くことを示す。
アイデンティティスタートの場合、この方程式は自由対数正規法則となり、一般極限は自由対数正規法と自由乗法的畳み込みによって得られる。
さらに, 自由対数正規化支援式, 数値評価のための固定点反復法, フォーマルな小型マルテンコ-パストゥル近似を求める。
また, 制約スペクトル法則を用いて, 有限次元シミュレーションとの密接な一致を見いだし, おもちゃのランダムな回帰リスクを予測する。
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