論文の概要: A simplex-based measure of symmetry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.03815v1
• Date: Sat, 04 Jul 2026 10:50:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-07 22:26:29.728913
• Title: A simplex-based measure of symmetry
• Title（参考訳）: 対称性の単純度に基づく測度
• Abstract要約: コンパクト凸集合に対して、$L,K の部分集合 mathbbRn$ は$_K(L)$ で表され、$L$ を含む$K$ のホモテットの最小サイズである。 ReLUニューラルネットワークの表現性に触発され、Minkowski sumとconvex hull of a unionという2つの演算の下で、$mathbbRn$のポリトープの深さ複雑性について研究する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3249299424572234
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: For compact convex sets $L,K \subset \mathbb{R}^n$, denote by $λ_K(L)$ the smallest size of a homothet of $K$ that contains $L$. We define a measure of symmetry based on the $n$-simplex $Δ= Δ^n \subset \mathbb{R}^n$ as the ratio \[ ρ_Δ(L):=\frac{λ_{-Δ}(L)}{λ_Δ(L)}. \] We study this measure and deduce the following results: (1) The classical Minkowski measure of symmetry $m^*(L)$ can be defined as an affine-invariant version of $ρ_Δ(L)$. (2) We improve the stability analysis for the Minkowski measure of symmetry; if $m^*(L)\ge n-\varepsilon$ then $L$ is $\tfrac{1}{1-\varepsilon}$-close to $Δ$ in the Banach--Mazur distance. (3) We obtain a novel characterization of simplices as the only convex bodies $K$ for which the function $L \mapsto λ_K(L)$ is additive (a property we term ``outer additivity''). (4) Motivated by the expressivity of ReLU neural networks, we study the depth complexity of polytopes in $\mathbb{R}^n$ under the two operations: Minkowski sum and convex hull of a union. We prove the sharp bound $ρ_Δ(P) \leq 2^d -1$ for every polytope $P$ of depth complexity $d$. In other words, simplices cannot be approximated by low-depth polytopes.
• Abstract（参考訳）: コンパクト凸集合 $L,K \subset \mathbb{R}^n$ に対して、$λ_K(L)$ は$L$ を含む$K$ のホモテットの最小サイズである。 対称性の測度は$n$-simplex $Δ= Δ^n \subset \mathbb{R}^n$ を比 \[ ρ_Δ(L):=\frac{λ_{-Δ}(L)}{λ_Δ(L)} として定義する。 1) 対称性の古典的なミンコフスキー測度 $m^*(L)$ は、$ρ_Δ(L)$ のアフィン不変バージョンとして定義される。 2) 対称性のミンコフスキー測度に対する安定性解析を改善する;$m^*(L)\ge n-\varepsilon$ならば、$L$は$\tfrac{1}{1-\varepsilon}$-close to $Δ$ in the Banach--Mazur distance。 (3) Simplices の新たな特徴付けとして、関数 $L \mapsto λ_K(L)$ が加法的である唯一の凸体 $K$ を得る('outer additivity'' という性質)。 (4) ReLUニューラルネットワークの表現性に動機づけられ, ミンコフスキー和とユニオンの凸殻の2つの演算の下で, $\mathbb{R}^n$ のポリトープの深さ複雑性について検討した。 任意のポリトープに対して、鋭い有界な$ρ_Δ(P) \leq 2^d -1$を証明し、深さ複雑性$d$とする。 言い換えれば、単純化は低深さのポリトープでは近似できない。

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