論文の概要: The Exact Worst-Case Tail Probability under Bounded Kurtosis

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.05226v2
• Date: Tue, 07 Jul 2026 15:33:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-08 14:37:43.352635
• Title: The Exact Worst-Case Tail Probability under Bounded Kurtosis
• Title（参考訳）: 有界クルト症における排他的最悪のタイル確率
• Authors: Xiaoyu Li, Andi Han, Jiaojiao Jiang, Junbin Gao,
• Abstract要約: 片側テールコントロールのために、クルトーシスバウンドが何を買うか、正確に決定する。 平均$0$、分散$1$、そして少なくとも$$4の4モーメントを持つ実乱変数のクラス$mathcalC()$の場合、歪みは自由のままである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 39.91890433860882
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We determine exactly what a kurtosis bound buys for one-sided tail control. For the class $\mathcal{C}(κ)$ of real random variables with mean $0$, variance $1$, and fourth moment at most $κ$, the skewness left free, we compute the worst-case tail probability $V_1(t,κ)=\sup_{X\in\mathcal{C}(κ)}\mathbb{P}(X\geq t)$ for every threshold $t>0$ and every $κ\geq 1$. The answer is a four-regime map: a Cantelli tongue $b(κ)\le t\le c(κ)$ on which the two-moment bound $1/(1+t^2)$ remains tight and the kurtosis constraint is worthless; a tail regime $t\geq c(κ)$ with the closed form $V_1=(κ-1)/((t^2-1)^2+κ-1)$; a plateau regime, present only for $κ\le 3/2$, on which the worst case freezes and the value does not depend on $t$; and a central regime described exactly by an explicit algebraic system, provably admitting no closed form in nested square roots. Beyond $c(κ)$ the one-sided and two-sided worst cases coincide: Cantelli's improvement over Chebyshev is annihilated by fourth-moment information. The minimal degree of a sum-of-squares proof of the tight bound is $2$ on the closed tongue and $4$ everywhere else, an exact phase diagram of proof degree. Every closed-form regime carries an explicit dual certificate and an explicit extremal distribution, re-verified on parameter grids by an independent checker in exact arithmetic. The closed forms invert to exact worst-case quantiles, sharpen a median-of-means constant, and give the exact per-direction tail available to degree-4 reasoning under certifiable kurtosis. We found the map through an AI-guided search around the certifying pipeline, LemmaForge, which is validated on classical benchmarks, independently reproduces the symmetric-slice bound of Zelen (1954), and recovers the $2\sqrt{3}-3$ constant of He, Zhang, and Zhang (2010) at $t=0$.
• Abstract（参考訳）: 片側テールコントロールのために、クルトーシスバウンドが何を買うか、正確に決定する。 平均$0$、分散$1$、そして最大$κ$の4モーメントを持つ実確率変数のクラス$\mathcal{C}(κ)$に対して、スキューネスは少なくとも$κ$で、最悪の場合のテール確率$V_1(t,κ)=\sup_{X\in\mathcal{C}(κ)}\mathbb{P}(X\geq t)$はすべてのしきい値$t>0$に対して$κ\geq 1$である。 Cantelli tongue $b(κ)\le t\le c(κ)$ 上の2つのモーメントの有界な1/(1+t^2)$ は厳密であり、クルトシスの制約は無価値である:tail regime $t\geq c(κ)$ 閉形式 $V_1=(κ-1)/((t^2-1)^2+κ-1)$ プラトー規則は、最悪のケースが凍結し値が$t$に依存しない$κ\le 3/2$ に対してのみ存在する。 Cantelli氏のChebyshevに対する改善は、第4モーメント情報によって消滅する。 厳密な境界の2乗証明の最小次数は、閉じた舌に2ドル、至る所で4ドルであり、証明の正確な位相図である。 すべてのクローズドフォームは明示的な二重証明と明示的な極端分布を持ち、正確な算術で独立したチェッカーによってパラメータグリッドに再検証される。 クローズドフォームは、正確な最悪の量子化に逆転し、平均値の定数を鋭くし、認証されたカルトシスの下での次数4の推論に正確な方向毎のテールを与える。 従来のベンチマークで検証されたLemmaForgeは、Zenlen (1954) の対称スライス境界を独立に再現し、He, Zhang, Zhang (2010) の定数 2\sqrt{3}-3$を$t=0$で回収する。

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