論文の概要: Non-asymptotic Tail Bounds for the Kostlan--Shub--Smale Field: Tensor PCA and Spherical $k$-Spin Complexity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.17665v1
• Date: Tue, 16 Jun 2026 08:27:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-17 17:15:32.353403
• Title: Non-asymptotic Tail Bounds for the Kostlan--Shub--Smale Field: Tensor PCA and Spherical $k$-Spin Complexity
• Title（参考訳）: Kostlan-Shub-Smale場に対する非漸近的Tail境界:テンソルPCAと球面$k$-Spin複素性
• Authors: Jean-Marc Azaïs, Federico Dalmao, Yohann De Castro,
• Abstract要約: 本論文では、球面上のコストラン-シュブ-スモールランダム場の上層に対して、明示的で漸近的でない尾境界の階層を構築する。 スパイクされたPCAと球面の$k$-spinモデルのランドスケープという2つの問題に適用できる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6627152091494143
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper builds a hierarchy of explicit, non-asymptotic tail bounds for the supremum of the Kostlan--Shub--Smale (KSS) random field on the sphere, and applies it to two problems: Spiked Tensor PCA and the landscape of the spherical $k$-spin model. For Tensor PCA, we study the non-asymptotic statistical limits of estimating a rank-$R$ symmetric signal tensor of order~$k\ge 3$ and dimension~$d\ge 3$ from a single Gaussian observation at signal-to-noise ratio~$λ$, through the \emph{profile maximum likelihood estimator}, the MLE restricted to normalized rank-$R$ tensors of coherence at least~$κ$. Our analysis uses a single reduction: a deterministic geometric inequality (the Tube Method) and a rank-reduction step bound the estimation error by the supremum of the canonical KSS field, which the Kac--Rice formula turns into a Gaussian integral against the expected absolute characteristic polynomial of a shifted Gaussian Orthogonal Ensemble, controlled in turn by the four explicit tail bounds of our hierarchy (three from a Mehta--Fyodorov representation, one from a Ben Arous--Dembo--Guionnet large deviation). The same reduction yields two results, each with explicit constants. For estimation, a finite-$(k,d)$ error bound recovers the asymptotically optimal rate~$\sqrt{d\log k}$ of Perry, Wein and Bandeira, with explicit dependence on the rank~$R$ and the coherence~$κ$. For the landscape, a two-sided non-asymptotic bracketing of the annealed complexity of the spherical $k$-spin Hamiltonian recovers the Auffinger--Ben Arous--Černý complexity function in the high-dimensional limit.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、球面上のコストラン-シュブ-スモール(KSS)ランダム場(英語版)(Kostlan-Shub-Smale)の上限に対して、明示的で漸近的でないテール境界の階層を構築し、これをスパイクテンソルPCAと球面$k$-spinモデルの風景という2つの問題に適用する。 テンソル PCA に対して、階数-R$対称信号テンソルの階数-$k\ge 3$ および次元~$d\ge 3$ を信号-雑音比~$λ$ で単一のガウス的観測から推定する非漸近的統計的極限について研究し、MLE は正規化階数-$R$コヒーレンステンソルを少なくとも$κ$ に制限する。 決定論的幾何不等式(チューブ法)と階数還元ステップは、標準KSS場の上限によって推定誤差を束縛し、Kac-Rice公式はガウス積分となり、シフトガウス直交アンサンブルの期待絶対特性多項式に対してガウス積分となり、我々の階層の4つの明示的なテール境界によって制御される(3つは、ベン・アラス-デンボ-ギオンネットの大偏差によるメフタ-フロドーロフ表現による)。 同じ還元は2つの結果をもたらし、それぞれが明示的な定数を持つ。 推定において、有限$(k,d)$誤差境界は、ペリー、ワイン、バンディラの漸近的最適率~$\sqrt{d\log k}$を、ランク~$R$とコヒーレンス~$κ$に明示的に依存して回復する。 ランドスケープにとって、球面の$k$-スピンハミルトニアン(英語版)のアニール複雑性の両面の非漸近ブラケットは、高次元極限における Auffinger--Ben Arous--エルンシュ複雑性関数を回復する。

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