論文の概要: Statistical inverse learning and $\ell^1$-regularization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.07468v1
- Date: Wed, 08 Jul 2026 14:32:08 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-09 22:50:30.407168
- Title: Statistical inverse learning and $\ell^1$-regularization
- Title（参考訳）: 統計的逆学習と$\ell^1$-regularization
- Abstract要約: 統計的逆学習の枠組みにおいて,有限,雑音,間接的な観測からスパース関数の回復について検討した。
我々は、ほぼ公約指数を確立し、予測基準と$ell1$復元基準の両方において、非漸近的高確率収束率を導出する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.27998963147546135
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the recovery of sparse functions from finite, noisy, and indirect observations in the framework of statistical inverse learning. The unknown is modeled as an element of $\ell^1$, and observations are generated through a possibly nonlinear forward operator $A:\ell^1\to H$, where $H$ is a vector-valued reproducing kernel Hilbert space. We propose an $\ell^1$-regularized empirical risk minimizer and develop a theoretical analysis of its statistical properties. Under mild assumptions, we establish almost-sure consistency and derive non-asymptotic high-probability convergence rates in both the prediction and $\ell^1$ reconstruction norms. The rates depend on the source smoothness parameter $r$, characterized by a variational source condition, and the effective dimension exponent $b$, describing the polynomial spectral decay of the covariance operator. We further prove matching minimax lower bounds, showing that the obtained convergence rates are optimal. To relate the theory to practical sparsity models, we consider finitely smoothing operators of the form $A=G\circ S$, where $S$ is a synthesis operator, and show that approximation-space assumptions imply the required variational source conditions. In particular, we prove that membership in the approximation space $k_t$ is equivalent to polynomial decay of the best $n$-term approximation error. Finally, we verify the assumptions for two representative inverse problems: reaction coefficient identification in elliptic PDEs and sparse computed tomography. For filtered Radon transforms, we derive explicit effective-dimension asymptotics, yielding concrete convergence rates for standard image models and sparsifying systems.
- Abstract（参考訳）: 統計的逆学習の枠組みにおいて,有限,雑音,間接的な観測からスパース関数の回復について検討した。
未知は $\ell^1$ の要素としてモデル化され、観測はおそらく非線形フォワード作用素 $A:\ell^1\to H$ によって生成される。
本稿では,$\ell^1$-regularized empirical risk minimalrを提案する。
軽度の仮定の下では、ほぼ確実な整合性を確立し、予測と$\ell^1$再構成ノルムの両方において非漸近的高確率収束率を導出する。
実効次元指数$b$は共分散作用素の多項式スペクトル減衰を記述する。
さらに, 得られた収束速度が最適であることから, 最小値下限のマッチングを証明した。
この理論を実用空間モデルに関連付けるために、$A=G\circ S$という形の有限滑らかな作用素を考える。
特に、近似空間 $k_t$ のメンバシップは、最高の$n$項近似誤差の多項式減衰と等価であることを示す。
最後に、楕円型PDEにおける反応係数の同定とスパースCTの2つの代表的な逆問題に対する仮定を検証する。
フィルタされたラドン変換に対しては、明示的な有効次元漸近を導出し、標準画像モデルやスペーサー化システムに対して具体的な収束率を得る。
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