論文の概要: Uniform Statistical Convergence of Empirical Sinkhorn Potentials with Exponential and Polynomial Dependence on the Regularization Parameter
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.29152v1
- Date: Sat, 29 Aug 2026 08:59:00 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-01 18:31:30.861754
- Title: Uniform Statistical Convergence of Empirical Sinkhorn Potentials with Exponential and Polynomial Dependence on the Regularization Parameter
- Title（参考訳）: 正則化パラメータの指数および多項式依存性を持つ経験的シンクホーン電位の均一な統計的収束
- Abstract要約: 本研究では,一様損失下でのエントロピー最適輸送電位の実験的シンクホーン推定器について検討した。
固定正規化パラメータ $varepsilon>0$ に対して、漸近的でない統計レート $n-1/2$ を確立する。
鍵となる要件は、シンクホーン写像の残留安定度推定である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.6552781109515853
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We study the empirical Sinkhorn estimator of the entropic optimal transport potentials under the uniform loss. Since the potentials are only unique up to additive constants, we measure the error using the quotient supremum norm, defined as $d_\infty([u],[v]) = \inf_{a\in\mathbb{R}}\|u-v-a\|_\infty$. For a fixed regularization parameter $\varepsilon>0$, we establish a non-asymptotic statistical rate of $n^{-1/2}$. This is achieved by combining the Birkhoff-Hopf contraction theorem with entropy bounds on normalized kernel sections. However, the constant in this bound grows exponentially with $1/ε$. To improve this, we isolate geometric conditions under which the empirical estimator maintains the $n^{-1/2}$ rate but features polynomial dependence on $1/\varepsilon$. The key requirement is a polynomial residual-stability estimate for the population Sinkhorn map. We provide sufficient criteria for this, including a polynomial contraction property and a local inverse estimate. Furthermore, we introduce two rigorously verifiable model classes an $\varepsilon$-weak residual-interaction class obtained after separable centering and another based on connected tight-edge graphs for fixed discrete costs where the polynomial rate is guaranteed without relying on abstract resolvent assumptions. Finally, we establish matching minimax lower bounds demonstrating that the $\varepsilon n^{-1/2}$ rate cannot be uniformly improved in the bounded-interaction regime.
- Abstract（参考訳）: 本研究では,一様損失下でのエントロピー最適輸送電位の実験的シンクホーン推定器について検討した。
ポテンシャルは加法定数にのみ一意であるので、$d_\infty([u],[v]) = \inf_{a\in\mathbb{R}}\|u-v-a\|_\infty$ と定義される商極ノルムを用いて誤差を測定する。
固定正則化パラメータ $\varepsilon>0$ に対して、漸近的でない統計レート $n^{-1/2}$ を確立する。
これは、バーホフ・ホップの縮約定理と正規化された核切断上のエントロピー境界を組み合わせることで達成される。
しかし、この境界の定数は指数関数的に1/ε$で増加する。
これを改善するために、経験的推定器が$n^{-1/2}$レートを維持する幾何学的条件を分離するが、1/\varepsilon$に多項式依存を特徴とする。
鍵となる要件は、集団シンクホーン写像に対する多項式残留安定推定である。
多項式収縮特性と局所逆推定を含む十分な基準を提供する。
さらに、2つの厳密に検証可能なモデルクラスとして、分離可能な中心化後に得られる$\varepsilon$-weak残差相互作用クラスと、多項式レートが抽象的な分解性仮定に頼らずに保証される固定された離散コストに対して連結されたタイトエッジグラフに基づくものを導入する。
最後に、一致するミニマックスの下界を確立し、$\varepsilon n^{-1/2}$レートが有界相互作用系において一様に改善できないことを示す。
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