論文の概要: Learning to Discretize: Diffusion-Based Adaptive Mesh with Spectral Guidance
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.11974v1
- Date: Mon, 13 Jul 2026 03:09:05 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-15 17:08:29.901479
- Title: Learning to Discretize: Diffusion-Based Adaptive Mesh with Spectral Guidance
- Title（参考訳）: 離散化を学ぶ:スペクトル誘導を用いた拡散型適応メッシュ
- Abstract要約: ほとんどの神経偏微分方程式(PDE)は、格子が既に選択された後に磁場がどのように進化するかを学ぶ。
この隠れ設計の選択自体が学習可能であるべきだと我々は主張する。
有効なメッシュ変位に対する物理制約付き条件生成問題として適応離散化を定式化する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.080968143531875
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Most neural partial differential equation (PDE) surrogates learn how fields evolve after a grid has already been chosen. However, before any operator is applied, the grid has already determined how modeling capacity is allocated across space, resolution, and spectral bandwidth. We argue that this hidden design choice should itself be learnable, leading to a question different from standard operator learning: can a surrogate learn where resolution should exist before predicting field evolution? We formulate adaptive discretization as a physics-constrained conditional generation problem over valid mesh displacements. The success of diffusion models in PDE field prediction suggests their potential for learning adaptive discretizations under similar structured constraints. This leads to a two-stage diffusion framework: Stage 1 learns an r-adaptive displacement mesh conditioned on the observed dynamics, while Stage 2 predicts the solution evolution from the mesh-informed representation. The mesh generator is regularized by physics-aware proxy channels, geometric validity constraints, and local spectral concentration so that adaptation remains physically interpretable and numerically legal. Across five PDE regimes, the results show that diffusion-based learned discretization is competitive with adaptive-mesh and reduced-order baselines, with particularly strong gains in regimes where fixed or handcrafted allocation is insufficient. The main conclusion is not that there exists a universal optimal mesh rule, but that discretization should be learned in a regime-dependent manner: different spatial and spectral structures favor different allocation behaviors. This reframes adaptive meshing for neural PDE solvers from a solver-specific heuristic into a generative representation-learning problem.
- Abstract（参考訳）: ほとんどの神経偏微分方程式(PDE)は、格子が既に選択された後に磁場がどのように進化するかを学ぶ。
しかしながら、演算子を適用する前に、グリッドは、空間、解像度、スペクトル帯域にわたって、モデリング能力をどのように割り当てるかをすでに決定している。
我々は、この隠れ設計の選択自体が学習可能であるべきだと論じ、標準的なオペレーターの学習とは別の問題に繋がる: シューロゲートは、フィールドの進化を予測する前に、解決がどこにあるべきかを学習できるだろうか?
有効なメッシュ変位に対する物理制約付き条件生成問題として適応離散化を定式化する。
PDE場予測における拡散モデルの成功は、類似した構造的制約の下で適応的な離散化を学習する可能性を示している。
ステージ1は観察されたダイナミックスに条件付けられたr適応的変位メッシュを学習し、ステージ2はメッシュインフォームド表現から解の進化を予測する。
メッシュジェネレータは、物理を意識したプロキシチャネル、幾何学的妥当性制約、局所スペクトル濃度によって正規化され、適応は物理的に解釈可能で数値的に合法である。
5つのPDE体制において,拡散に基づく学習離散化は適応的・低次ベースラインと競合し,固定的・手作り的アロケーションが不十分なレギュレーションでは特に顕著に向上した。
主な結論は、普遍的な最適メッシュルールが存在するのではなく、離散化は状況に依存した方法で学ばなければならない、ということである。
これにより、ニューラルPDEソルバの適応的メッシュ化を、ソルバ固有のヒューリスティックから生成表現学習問題へと再構成する。
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