論文の概要: Residual-Based Time Discretization on Nonlinear Approximation Manifolds: Analysis and Gaussian Applications
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.15086v1
- Date: Thu, 16 Jul 2026 14:57:44 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-17 17:01:33.152057
- Title: Residual-Based Time Discretization on Nonlinear Approximation Manifolds: Analysis and Gaussian Applications
- Title（参考訳）: 非線形近似多様体の残差に基づく時間離散化:解析とガウス的応用
- Authors: Eddy de Leon, Caroline Lasser,
- Abstract要約: ヒルベルト空間における進化方程式の時間離散パラメトリック近似を残留最小化に基づいて検討する。
離散化と進化方程式のパラメトリゼーション、パラメータ力学を規定するディラック-フランケル変分原理の離散化である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We study time-discrete parametric approximations of evolution equations in Hilbert spaces based on residual minimization. The solution is represented by a parametrized ansatz belonging to a low-dimensional nonlinear manifold, and time stepping is performed by minimizing suitably defined residuals at each step. Two natural residual formulations are considered: discretization followed by parametrization of the evolution equation, and discretization of the Dirac--Frenkel variational principle governing the parameter dynamics. A unified error analysis is developed for both approaches within the family of $ζ$-methods. The resulting bounds separate the effects of time discretization from those of residual minimization and yield first- and second-order convergence under Lipschitz, one-sided Lipschitz, and dissipativity assumptions. For the variational formulation, additional stability conditions involving the conditioning of the parametrization map arise naturally. The framework is applied to Gaussian approximation manifolds, for which residual norms and gradients admit explicit closed-form expressions when polynomial operators are involved. This enables efficient implementation without spatial discretization. Numerical experiments for time-dependent Schrödinger equations illustrate the theoretical convergence rates and the influence of residual accuracy on conservation properties.
- Abstract（参考訳）: ヒルベルト空間における進化方程式の時間離散パラメトリック近似を残留最小化に基づいて検討する。
溶液は低次元の非線形多様体に属するパラメタライズアンサッツで表され、各ステップで適切に定義された残留物を最小化して時間ステップを行う。
離散化と進化方程式のパラメトリゼーション、パラメータ力学を規定するディラック-フランケル変分原理の離散化である。
統一誤差解析は、$$$-methodsのファミリー内で両方のアプローチで開発されている。
得られた境界は、時間離散化の効果と残差最小化の影響を分離し、リプシッツ、片側リプシッツ、および分離性仮定の下で一階および二階収束をもたらす。
変分定式化では、パラメトリゼーションマップの条件付けを含むさらなる安定性条件が自然に生じる。
このフレームワークはガウス近似多様体に適用され、多項式作用素が関与するときに、残留ノルムと勾配が明示的な閉形式表現を認める。
これにより、空間的な離散化を伴わない効率的な実装が可能となる。
時間依存シュレーディンガー方程式の数値実験は、理論収束率と保存特性に対する残留精度の影響を描いている。
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