論文の概要: A Hyperfinite Framework for Score-Based Generative Modeling

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.02799v1
• Date: Mon, 03 Aug 2026 18:51:44 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-05 15:30:22.920658
• Title: A Hyperfinite Framework for Score-Based Generative Modeling
• Title（参考訳）: スコアベース生成モデリングのための超有限フレームワーク
• Authors: Sunder Ram Krishnan,
• Abstract要約: 非標準解析の枠組みの中でスコアベース生成モデリングの超有限定式化を開発する。 内部スコアマッチング対象値の最小化は、逆時間ダイナミクスで要求されるスコア関数を復元することを示す。 適切な仮定の下では、超有限ギルサノフ式を導出し、可能性最適化とフィッシャー偏差目標の関係を確立する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8122270502556375
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Score-based diffusion models are typically formulated using continuous-time stochastic differential equations and measure-theoretic stochastic calculus. In this paper, we develop a hyperfinite formulation of score-based generative modeling within the framework of Nonstandard Analysis. Starting from an internal diffusion process on a hyperfinite grid, we derive the associated infinitesimal generator and establish its correspondence with the classical Fokker--Planck equation. We then obtain a hyperfinite backward-mean identity that yields the reverse-time drift and provides a constructive derivation of the reverse-time SDE. Building on these results, we show that minimization of an internal score-matching objective recovers the score function required by the reverse-time dynamics, thereby connecting score estimation with generative sampling directly at the hyperfinite level. Under suitable assumptions, we further derive a hyperfinite Girsanov formula and establish a relationship between likelihood optimization and Fisher-divergence objectives. Finally, we analyze the second-order consistency of the hyperfinite dynamics and show that the leading correction term depends explicitly on the fourth moment of the increment distribution, with the Gaussian value $κ=3$ eliminating the leading dispersion contribution. Taken together, these results provide a unified hyperfinite framework for diffusion-based generative modeling--while laying foundations for further extensions--that links discrete grid dynamics, reverse-time diffusion, score matching, and likelihood-based formulations within a common nonstandard setting.
• Abstract（参考訳）: スコアベース拡散モデルは通常、連続時間確率微分方程式と測度理論確率計算を用いて定式化される。 本稿では,非標準解析の枠組みにおけるスコアベース生成モデルの超有限定式化を開発する。 超有限格子上の内部拡散過程から、関連する無限小生成元を導出し、古典的なフォッカー-プランク方程式との対応性を確立する。 次に、逆時間ドリフトを生じる超有限逆平均恒等式を求め、逆時間SDEの構成的導出を提供する。 これらの結果に基づき、内部のスコアマッチング目的の最小化は、逆時間ダイナミクスが要求するスコア関数を復元し、スコア推定と生成的サンプリングを直接超有限レベルで接続することを示す。 適切な仮定の下では、超有限ギルサノフ公式を導出し、可能性最適化とフィッシャー偏差目標の関係を確立する。 最後に、超有限ダイナミクスの2階の整合性を解析し、先行補正項がインクリメント分布の第4モーメントに明示的に依存していることを示し、ガウス値$κ=3$は先行分散寄与を排除している。 これらの結果は、拡散に基づく生成モデルのための統一された超有限のフレームワークを提供する。これは、離散格子力学、逆時間拡散、スコアマッチング、確率ベースの定式化を共通の非標準設定内でリンクする、さらなる拡張の基盤となる。

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