論文の概要: Faster Algorithms for Multimarginal Optimal Transport
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.09513v1
- Date: Mon, 10 Aug 2026 12:14:25 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-11 19:16:37.254665
- Title: Faster Algorithms for Multimarginal Optimal Transport
- Title（参考訳）: マルチマルジナル最適輸送のための高速アルゴリズム
- Abstract要約: マルチマルジナル最適輸送(MOT)距離を近似するアルゴリズムについて検討する。
期待される輸送コストが添加物の範囲内にある辺縁間の結合を計算する古典的アルゴリズムを提案する。
また,エントロピー規則化MOTのための量子マルチマルジナルシンクホーンアルゴリズムを提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.64385599600412
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study algorithms for approximating the multimarginal optimal transport (MOT) distance, a generalization of the classic optimal transport distance, between $m$ discrete probability distributions each supported on at most $n$ points. We give a classical algorithm that computes a coupling between these marginals whose expected transportation cost is within an additive $\varepsilon > 0$ of the MOT distance in time $O(m^2 n^m \varepsilon^{-1}\mathrm{polylog}(m,n,\varepsilon^{-1}))$. This is, to our knowledge, the first bound for general MOT problems with simultaneous linear dependence on the dimension $n^m$ and on the accuracy parameter $\varepsilon^{-1}$, improving the prior state of the art. On the quantum side, we give two algorithms that achieve speedups in dimension, though with worse accuracy dependence than classical approaches. First, we construct a quantum projected subgradient method for estimating the MOT distance within an additive $\varepsilon >0$ with runtime $O( m^3 n^{\frac{m}{2}+1} \varepsilon^{-2} \mathrm{polylog}(m,n,\varepsilon^{-1}))$. This algorithm works with the linear programming dual of the MOT problem, and does not return a coupling. We also give a quantum multimarginal Sinkhorn algorithm for entropy-regularized MOT. This algorithm returns an implicit description of an approximately optimal coupling with runtime $O(m^8n^{\frac{m+1}{2}} \varepsilon^{-5} \mathrm{polylog}(m,n,\varepsilon^{-1})))$ after the usual reduction from entropic MOT to unregularized MOT. We also record query lower bounds: for any precision $\varepsilon<1/2$, randomized classical algorithms require $Ω(n^m/(1+\varepsilon n))$ queries and quantum algorithms require $Ω(\sqrt{n^m/(1+\varepsilon n)})$ queries.
- Abstract（参考訳）: 我々は, 古典的最適輸送距離の一般化であるマルチマルジナル最適輸送距離(MOT)を, 最大$n$ポイントでそれぞれ支持する離散確率分布間で近似するアルゴリズムについて検討した。
所望の輸送コストが加法$\varepsilon > 0$のMOT距離を時間$O(m^2 n^m \varepsilon^{-1}\mathrm{polylog}(m,n,\varepsilon^{-1})で計算する古典的アルゴリズムを与える。
これは、我々の知る限り、次元$n^m$と精度パラメータ$\varepsilon^{-1}$に同時線形依存を持つ一般MOT問題に対する最初の境界であり、先行した最先端技術を改善する。
量子側では、古典的アプローチよりも精度が劣るが、次元の高速化を実現する2つのアルゴリズムを与える。
まず、加法$\varepsilon >0$ で MOT 距離を推定する量子射影次数法を、ランタイム $O(m^3 n^{\frac{m}{2}+1} \varepsilon^{-2} \mathrm{polylog}(m,n,\varepsilon^{-1})$ で構築する。
このアルゴリズムは、MOT問題の線形プログラミング双対に作用し、カップリングを返さない。
また,エントロピー規則化MOTのための量子マルチマルジナルシンクホーンアルゴリズムを提案する。
このアルゴリズムは、エントロピーMOT から非正規化 MOT への通常の還元後に、ランタイム $O(m^8n^{\frac{m+1}{2}} \varepsilon^{-5} \mathrm{polylog}(m,n,\varepsilon^{-1})) とほぼ最適な結合の暗黙的な記述を返す。
任意の精度で$\varepsilon<1/2$に対して、ランダム化された古典的アルゴリズムは$Ω(n^m/(1+\varepsilon n))$クエリを必要とし、量子アルゴリズムは$Ω(\sqrt{n^m/(1+\varepsilon n)})$クエリを必要とする。
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