論文の概要: Active-Trace Complexity Bounds for Moreau--Yosida Unadjusted Langevin Sampling

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.13467v1
• Date: Thu, 13 Aug 2026 16:47:41 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-14 18:29:38.610069
• Title: Active-Trace Complexity Bounds for Moreau--Yosida Unadjusted Langevin Sampling
• Title（参考訳）: Moreau-Yosida 未調整 Langevin サンプリングのためのアクティブトレース複素境界
• Abstract要約: 非滑らかな合成対象 [()propto expf(x)-g(x),dx, qquad xinmathbb Rd, ] に対するMoreau-Yosida unoperator Langevinアルゴリズム(MYULA)について検討する。 この結果から,MYULA更新開始時の熱サブステップに沿った平均 (a_) である基準活性トレース (B_mathrmref) により,先行MYULA離散化誤差が制御されることが判明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.454986540713655
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study the Moreau--Yosida unadjusted Langevin algorithm (MYULA) for the nonsmooth composite target \[ π(dx)\propto \exp\{-f(x)-g(x)\}\,dx, \qquad x\in\mathbb R^d, \] where \(f\) is \(m\)-strongly convex with \(L_f\)-Lipschitz gradient and \(g\) is convex and \(G\)-Lipschitz. Let \(g_λ\) be the Moreau envelope of \(g\), \(π_λ\) the corresponding smoothed target, and \(a_λ=\operatorname{tr}H_λ\), where \(H_λ\) is the a.e./weak Hessian of \(g_λ\). We show that the leading MYULA discretization error is controlled by the reference active trace \(B_{\mathrm{ref}}\), the average of \(a_λ\) along the heat substep of one MYULA update started from \(π_λ\), rather than by the global curvature bound \(d/λ\). If \(M_λ\) is an a.e. upper bound for \(a_λ\), then, up to logarithmic factors, \[ N \lesssim \frac{1}{m} \left[ L_f + \frac{ τ_f+G^2+B_{\mathrm{ref}} }{ \varepsilon_{\mathrm{alg}}^2 } + \frac{M_λ}{\varepsilon_{\mathrm{alg}}} \right], \qquad τ_f:= \sup_x\operatorname{tr}\nabla^2 f(x), \] iterations suffice to ensure \(\sqrt m\,W_2(μ_N,π_λ)\leq\varepsilon_{\mathrm{alg}}\), where \(μ_N\) is the law of the \(N\)-th iterate and \(W_2\) is the quadratic Wasserstein distance. We also prove the Moreau-bias bound \[ \sqrt m\,W_2(π_λ,π) \leq \frac{G^2λ}{4}. \] Thus, choosing \(λ\asymp\varepsilon/G^2\) gives an end-to-end guarantee for \(π\). The universal estimate \(B_{\mathrm{ref}}\leq d/λ\) yields \(\widetilde O(\varepsilon^{-3})\) accuracy dependence. For the structured piecewise-linear, lasso-type, group, and total-variation penalties considered here, curvature--tube estimates make \(B_{\mathrm{ref}}\) independent of \(λ\), yielding \(\widetilde O(\varepsilon^{-2})\) for the same classical MYULA kernel.
• Abstract（参考訳）: 非平滑な合成対象 \[π(dx)\propto \exp\{-f(x)-g(x)\}\,dx, \qquad x\in\mathbb R^d, \] に対するモロー-ヨシダ非調整ランゲヴィンアルゴリズム (MYULA) について検討する。 g_λ\) を対応する滑らかな対象のモローエンベロープとし、(a_λ=\operatorname{tr}H_λ\) を \(g_λ\) のモローエンベロープとし、(H_λ\) を \(g_λ\) の a.e./weak Hessian とする。 ここでは,MYULA の先行値の離散化誤差は,大域的曲率境界 \(d/λ\) ではなく,大域的曲率境界 \(π_λ\) から開始した 1 つの MYULA 更新の熱サブステップに沿った \(a_λ\) の平均値である参照活性トレース \(B_{\mathrm{ref}}\) によって制御されることを示す。 もし \(M_λ\) が \(a_λ\) の上界であれば、対数係数を除いて、 \[ N \lesssim \frac{1}{m} \left[ L_f + \frac{ τ_f+G^2+B_{\mathrm{ref}} }{ \varepsilon_{\mathrm{alg}}^2 } + \frac{M_λ}{\varepsilon_{\mathrm{alg}}} \right], \qquad τ_f:= \sup_x\operatorname{tr}\nabla^2 f(x), \] 反復 suffice は \(\sqrt m,W2(μ_λ)\lepsilon{ref}} である。 また、モロー-バイアス境界 \[ \sqrt m\,W_2(π_λ,π) \leq \frac{G^2λ}{4} も証明する。 したがって、 \(λ\asymp\varepsilon/G^2\) を選択すると、(π\) の終端保証が得られる。 普遍推定 \(B_{\mathrm{ref}}\leq d/λ\) は \(\widetilde O(\varepsilon^{-3})\) の精度依存性をもたらす。 ここで考慮された構成された分数線、ラッソ型、群、および全変分法について、曲率-チューブ推定は \(λ\) を独立にし、同じ古典的 MYULA 核に対して \(\widetilde O(\varepsilon^{-2})\) を与える。

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