論文の概要: On the Slow Convergence to Trivial Solutions of Algorithms for Hard Optimization Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.18910v1
• Date: Wed, 19 Aug 2026 13:40:11 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-20 20:13:55.407937
• Title: On the Slow Convergence to Trivial Solutions of Algorithms for Hard Optimization Problems
• Title（参考訳）: ハード最適化問題に対するアルゴリズムのトライビアル解のスロー収束について
• Abstract要約: 本研究では, 最適化アルゴリズムの有限サイズ挙動を, 容易, 中間, ハードレジームにまたがって検討する。 インスタンスがすでに高度に制約されている中間的状態において、局所アルゴリズムは、高制約密度限界において予測された性能よりもはるかに優れた解を実現する。 この有限登録と行動のギャップは重要な実践的意味を持つ。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.1739750649736305
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Hard combinatorial optimization problems, many of which are NP-hard, present fundamental algorithmic challenges. Average-case analysis on random instances has emerged as a powerful framework for understanding typical algorithmic performance beyond worst-case guarantees. A substantial body of work has established negative results: for sufficiently hard instances (often controlled by the underlying graph connectivity/constraints density), no known polynomial-time algorithm can significantly outperform naive heuristics in the double asymptotic limit where both problem size and constraints density tend to infinity. We revisit this picture by studying the finite-size behavior of some optimization algorithms across easy, intermediate, and hard regimes. Through rigorous analysis of large-graph asymptotics combined with numerical experiments on canonical problems (maximum independent set and maximum $K$-SAT), we demonstrate that while algorithms do eventually converge to theoretically predicted bounds, this convergence can be remarkably slow. In the intermediate regime where instances are already highly constrained, local algorithms achieve solutions substantially better than their predicted performance in the high-constraint-density limit. This gap between finite-regime and asymptotic behavior has important practical implications: sophisticated algorithmic design remains crucial even when asymptotic theory predicts inevitable failure.
• Abstract（参考訳）: 厳密な組合せ最適化問題(その多くがNPハード)は、アルゴリズムの基本的な課題を提示する。 ランダムインスタンスにおける平均ケース分析は、最悪のケース保証を超えた典型的なアルゴリズム性能を理解するための強力なフレームワークとして登場した。 十分にハードなインスタンス(しばしば基礎となるグラフ接続/制約密度によって制御される)に対して、既知の多項式時間アルゴリズムは、問題サイズと制約密度の両方が無限大になるような二重漸近的極限において、ナイーブなヒューリスティックを著しく上回ることができない。 我々はこの図を、簡単、中間的、硬直的な最適化アルゴリズムの有限サイズ挙動を研究することによって再検討する。 大グラフ漸近の厳密な解析と正準問題(最大独立集合と最大$K$-SAT)の数値実験を組み合わせることで、アルゴリズムは最終的に理論的に予測された境界に収束するが、この収束は驚くほど遅くなることを示した。 インスタンスがすでに高度に制約されている中間的状態において、局所アルゴリズムは、高制約密度限界において予測された性能よりもはるかに優れた解を実現する。 高度なアルゴリズム設計は、漸近的理論が避けられない失敗を予測したとしても決定的に重要である。

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