論文の概要: Magnitude Homology Is the Associated Graded of the Length Filtration

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.21479v1
• Date: Fri, 21 Aug 2026 08:30:30 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-25 13:29:43.209524
• Title: Magnitude Homology Is the Associated Graded of the Length Filtration
• Title（参考訳）: マグニチュード・ホモロジーは長さフィリレーションの関連グレードである
• Abstract要約: マグニチュード・ホモロジーは長さによって評価され、持続性について何も知らない。 長さのサブレベルセットで長さ神経をフィルタリングすると、持続モジュールが生成される。 長い正確なシーケンスがそれらを交換し、それぞれの側が欠落したものを得る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Magnitude homology is graded by length and knows nothing of persistence. Its persistent refinement knows nothing of where its bars begin and end. We show that the two are one construction: filtering the length nerve by sublevel sets of the length yields the persistence module, and the associated graded of that filtration is the magnitude complex. A long exact sequence exchanges them, and each side gains what it lacked. Magnitude homology locates the critical values of the barcode, so a graded computation lists the lengths at which an endpoint can occur, and the barcode acquires a stability estimate of $(n+1)δ$ in degree $n$ under a perturbation of size $δ$, while a computed perturbation moves a barcode by more than $δ$, so the factor cannot be dropped. We apply this to quantitative equational theories, whose free algebras are metric spaces built from syntax: an inclusion of theories induces a morphism of the presenting monads and a comparison of barcodes with an explicit bound, so the invariant measures axiomatic strength. Four examples are computed, one in every degree.
• Abstract（参考訳）: マグニチュード・ホモロジーは長さによって評価され、持続性について何も知らない。 その永続的な洗練は、バーの開始と終了の場所を全く知らない。 長さのサブレベル集合で長さ神経をフィルタリングすると、持続モジュールが生成され、それに伴うフィルターのグレードは、大域的複素数である。 長い正確なシーケンスがそれらを交換し、それぞれの側が欠落したものを得る。 マグニチュードホモロジー(Magnitude homology)はバーコードの臨界値を特定するため、等級計算はエンドポイントが生じる長さをリストし、バーコードは、$(n+1)δ$の安定性推定値を$n$の摂動の下で取得し、計算された摂動は$δ$以上のバーコードを移動させる。 理論の包含は、提示するモナドの射と有明な境界を持つバーコードの比較を誘導するので、不変量は公理的強度を測る。 4つの例が計算され、1つは次々に計算される。

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