論文の概要: Soft-Argmax for the Projective Plane via the Veronese Embedding

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.00521v1
• Date: Tue, 01 Sep 2026 00:40:06 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-02 16:31:36.175205
• Title: Soft-Argmax for the Projective Plane via the Veronese Embedding
• Title（参考訳）: Veronese 埋め込みによる射影平面のソフトArgmax
• Authors: Benjamin El-Zein, Dominik Eckert, Paul Zech, Christopher Syben, Bernhard Geiger, Steffen Kappler, Sebastian Stober,
• Abstract要約: emphVeronese soft-argmax in a transform Hough-based network across all resolvable lines。 我々は,全可解線にまたがる変換Houghベースのネットワークにおいて,emphVeroneseのソフトargmaxを検証する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.289908748072682
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: From horizon detection to fibre structures in X-ray imaging, many vision tasks recover lines via peak detection in Hough space $H=S^1\times\mathbb{R}$, the domain of orientation-offset pairs $(θ,ρ)$. Differentiable pipelines extract coordinates via \emph{soft-argmax}, a probability-weighted average that is only meaningful in a globally linear space. However, $(θ,ρ)$ and $(θ+π,-ρ)$ describe the same undirected line, so $H$ double-covers the space of undirected lines $H/\mathbb{Z}_2$: a Möbius strip, obtained by identifying each pair under $\mathbb{Z}_2$ action. Soft-argmax operates on the cover $H$, but since $H/\mathbb{Z}_2$ admits no linear structure, it tears geometrically adjacent lines apart. Thus we need a $\mathbb{Z}_2$-invariant embedding of lines into a linear space, on which soft-argmax is well-defined. We achieve this by parametrising lines via unit-norm homogeneous vectors $\ell=(1+ρ^2)^{-1/2}(\cosθ,\sinθ,-ρ)^{\top}\in\mathbb{R}^3$ and applying the Veronese map $v_2(\ell)=\ell\ell^{\top}$ that satisfies $v_2(\ell)=v_2(-\ell)$. This descends continuously to an embedding of the quotient $H/\mathbb{Z}_2$ into the linear space $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^3)$, where the antipodal ambiguity vanishes. Line extraction becomes a barycentre in $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^3)$, projected back via its leading eigenvector. We validate our \emph{Veronese soft-argmax} in a Hough transform-based network across all resolvable lines, confirming uniform and seam-free recovery. We further derive that the $L_2$-loss on isometrically weighted Veronese embeddings equals the squared chordal distance between lines in projective space, enabling a geometrically precise training objective.
• Abstract（参考訳）: X線イメージングにおける地平線検出からファイバー構造まで、多くの視覚タスクは、ハフ空間$H=S^1\times\mathbb{R}$、配向オフセット対の領域$(θ,ρ)$におけるピーク検出を通して線を回復する。 微分可能なパイプラインは、グローバル線型空間においてのみ意味を持つ確率重み付き平均である \emph{soft-argmax} を介して座標を抽出する。 しかし、$(θ,ρ)$と$(θ+π,-ρ)$は同じ無向直線を記述するので、$H$は無向直線の空間を二重被覆する$H/\mathbb{Z}_2$: メビウスのストリップ。 ソフトアルグマックスはカバー$H$で作用するが、$H/\mathbb{Z}_2$は線形構造を認めないので、幾何学的に隣接した線を分解する。 したがって、$\mathbb{Z}_2$-不変な直線の線型空間への埋め込みは、ソフトアーグマックスが well-defined である。 このことは、単位ノルム同次ベクトル $\ell=(1+ρ^2)^{-1/2}(\cosθ,\sinθ,-ρ)^{\top}\in\mathbb{R}^3$ を通じて直線をパラメトリし、ヴェローネス写像 $v_2(\ell)=\ell\ell^{\top}$ を $v_2(\ell)=v_2(-\ell)$ とする。 このことは、商 $H/\mathbb{Z}_2$ の線型空間 $\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^3)$ への埋め込みに連続して続く。 線抽出は$\mathrm{Sym}^2(\mathbb{R}^3)$のバリセントルとなり、先頭の固有ベクトルを通して投影される。 我々は,Hough変換に基づく全可解線を網羅したネットワーク上でのemph{Veronese soft-argmax} の有効性を検証し,均一性およびSeamフリーリカバリを確認した。 さらに、等尺重み付きヴェロネーズ埋め込み上の$L_2$-lossは、射影空間における直線間の2乗弦距離と等しく、幾何学的精度の高い訓練目的を実現することを導出した。

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