論文の概要: The Multiple Timescales of Gradient Descent on the Edge of Stability: A Perturbative Derivation of the Central Flow

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.01034v1
• Date: Tue, 01 Sep 2026 10:32:48 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-02 16:31:36.560396
• Title: The Multiple Timescales of Gradient Descent on the Edge of Stability: A Perturbative Derivation of the Central Flow
• Title（参考訳）: 安定端における勾配沈着の複数の時間スケール:中央流れの摂動的導出
• Authors: Raphaël Berthier,
• Abstract要約: 我々は、中心流が勾配降下の限界である摂動的体制を導出する。 最も急な方向に沿った振動の速い時間スケール、自己安定化機構の中間の時間スケール、そして中心フローの$g$-の最小値に沿った力学の遅い時間スケールである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.426855646402238
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The central flow of Cohen et al. (2025) is an empirically accurate continuous-time model of gradient descent at the edge of stability in deep learning, However, its derivation is heuristic. We propose a perturbative regime in which the central flow is the limit of gradient descent: we assume that the loss decomposes as $f = g + \varepsilon h$; in the limit $\varepsilon \to 0$, the dynamics of gradient descent with learning rate $η$ converge to the gradient flow of $h$ constrained to the minimizers of $g$ of sharpness at most $2/η$. Our approach is formal rather than rigorous; it treats gradient descent as a singularly perturbed dynamical system in $\varepsilon$. Three timescales emerge: a fast timescale of oscillations along the sharpest direction, an intermediate timescale of the self-stabilization mechanism, and a slow timescale of the dynamics along the minimizers of $g$-the central flow. Using the method of multiple scales, a classical formal method from singular perturbation theory, we derive the expansion of the dynamics in $\varepsilon$: the central flow emerges as the leading-order term in the expansion, while the self-stabilization mechanism appears in the next-order term. We study this mechanism beyond previous analyses: with a single eigenvalue at the edge of stability, we compute the slow drift of the energy of the fluctuations; with several eigenvalues at the edge of stability, we derive the self-stabilization system and explain why fluctuations persist.
• Abstract（参考訳）: Cohen et al (2025) の中心流は、深層学習における安定性の端における勾配降下の実験的に正確な連続時間モデルであるが、その導出はヒューリスティックである。 中心流が勾配降下の極限である摂動的体制を提案し、損失は$f = g + \varepsilon h$, in the limit $\varepsilon \to 0$, the dynamics of gradient descent with learning rate $η$ converge to the gradient flow of $h$ to the minimalrs of $g$ of sharpness at least $2/η$と仮定する。 我々のアプローチは厳密ではなく形式的であり、勾配降下を$\varepsilon$の特異摂動力学系として扱う。 最も急な方向に沿った振動の速い時間スケール、自己安定化機構の中間の時間スケール、そして中心フローの$g$-の最小値に沿った力学の遅い時間スケールである。 特異摂動理論からの古典的な形式的方法である多重スケールの方法を用いて、$\varepsilon$: 中心流は拡大の先頭項として現れ、自己安定化機構は次の項に現れる。 安定性の端に1つの固有値を持ち、ゆらぎのエネルギーの緩やかなドリフトを計算し、安定性の端に複数の固有値を持ち、自己安定化系を導出し、ゆらぎが持続する理由を説明する。

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