論文の概要: Beyond Arbitrary Geometry: Topology Generalization In neural PDE Operators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.05860v1
• Date: Sat, 05 Sep 2026 03:39:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-10 19:44:08.147544
• Title: Beyond Arbitrary Geometry: Topology Generalization In neural PDE Operators
• Title（参考訳）: 任意幾何学を超えて:神経PDE演算子におけるトポロジーの一般化
• Abstract要約: TopoBox-3Dを導入し,トンネルとキャビティがベティサポートに異なってくるのに対して,正確なホッジ分解は正のスペクトルからハーモニックカーネルを分離する。 非自明なハーモニックサポートを持つ6つのタスクすべてに対して、TNOが混合入力非ハーモニックな精度で第1位であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.2974966448764076
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Neural operators that accept arbitrary meshes are often treated as geometry-general, but unseen domain topology changes both the invariant and decaying subspaces of a PDE operator. We use Hodge heat flow as a controlled lens on this distinction and introduce TopoBox-3D, where tunnels and cavities vary Betti support while the exact Hodge decomposition separates the harmonic kernel from the positive spectrum. Across six architectures, models that infer topology implicitly suffer excess matched degradation in 37 of 45 model--task topology-OOD cells, yet cases that change harmonic dimension are not more strongly penalized on average. The dominant difficulty is instead spectral: the initial Rayleigh quotient is the most stable predictor of error, and spectral broadening adds information for edge and face cochains. Most strikingly, controlled probes show that explicit incidence and harmonic coordinates do not yield the best kernel-identity accuracy; nevertheless, TNO ranks first in mixed-input nonharmonic accuracy on all six tasks with nontrivial harmonic support. Together, these results establish topology as a distinct generalization axis beyond arbitrary-geometry compatibility and show that its influence extends across the Hodge spectrum rather than remaining confined to the harmonic kernel. More broadly, they suggest that global, low-frequency structural priors may help organize predictions in the faster-decaying complementary component, offering a new perspective on how neural operators may generalize across topology as well as geometry.
• Abstract（参考訳）: 任意のメッシュを受け入れるニューラル作用素はしばしば幾何学一般として扱われるが、目に見えない領域位相は、PDE作用素の不変部分空間と減衰部分空間の両方を変える。 TopoBox-3Dでは,トンネルとキャビティがベティの支持が異なるのに対して,正確なホッジ分解では高調波核を正のスペクトルから分離する。 6つのアーキテクチャで、暗黙的にトポロジーを推定するモデルは、45のモデル-タスクトポロジー-OODセルの37の過度に一致した劣化を被るが、ハーモニック次元を変化させるケースは平均的にあまりペナル化されない。 最初のレイリー商は最も安定な誤差予測器であり、スペクトル拡大はエッジとフェイスコチェーンの情報を追加する。 最も顕著なことに、制御されたプローブは、明示的な入射と調和座標が核のアイデンティティの精度を最高のものにしないことを示しているが、それでも TNO は、非自明な調和支援を持つ6つのタスクすべてに対して、混合入力非調和の精度で第一にランク付けしている。 これらの結果と共に、トポロジーは任意の幾何学的整合性を超えた明確な一般化軸として成立し、その影響は調和核に留まらず、ホッジスペクトルを越えて広がることを示した。 より広範に、グローバルで低周波な構造的先行は、高速な分解相補成分の予測を組織化するのに役立ち、ニューラル作用素がトポロジと幾何学をまたいでどのように一般化するかの新しい視点を提供する。

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