論文の概要: Gaussian Purification Quotients and Fixed Nielsen Penalties

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.17574v2
• Date: Thu, 17 Sep 2026 14:17:37 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-28 05:09:55.572143
• Title: Gaussian Purification Quotients and Fixed Nielsen Penalties
• Title（参考訳）: ガウス浄化法と修正ニールセン刑
• Abstract要約: 情報距離と回路の複雑さはどちらも長さを最小化することで得られるが、異なる対象に対して最小化される。 我々は、忠実な1つのモードのガウス国家に対して、この区別を明確にする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Information distance and circuit complexity are both obtained by minimizing lengths, but they minimize over different objects. We make this distinction explicit for faithful one-mode Gaussian states. First, invariant-form uniqueness implies that no positive-definite quadratic gate cost can be invariant under the full adjoint action of the noncompact symplectic group; a positive Cartan majorant necessarily introduces additional reference data. The Uhlmann purification quotient realizes the Bures metric, and the radial covariance direction requires a system-ancilla coupling because system-only Gaussian unitaries preserve the Williamson eigenvalue. We then minimize fixed right-invariant quadratic norms on the minimal two-mode Gaussian gate algebra \(\mathfrak{sp}(4,\mathbb R)\). For the unweighted Frobenius norm, the quotient coefficients for radial and traceless covariance tangents are $G_0=[\hbar^2(u-1)]^{-1}$ and $G_2=[\hbar^2(3u-1)]^{-1}$, where $u=(2ν/\hbar)^2$. Their ratio does not equal the Bures ratio. The radial coefficient, however, reproduces the Bures value exactly at every $u$; the mismatch is confined to the traceless sector. More generally, a constant block-diagonal two-weight schedule gives $G_0/G_2=1+2(β/α)u/(u-1)$; matching Bures throughout the isotropic family would require the state-dependent relation $β/α=1/u$. At the Bures-Fisher determinant crossing \(u=\varphi\), pointwise matching is possible only by inserting $β/α=\varphi^{-1}$. Thus the Bures purification quotient is an exact state-geometric cost, but it is neither an unweighted symplectic gate cost nor a member of this fixed two-weight Nielsen family. The existence of a more general fixed positive gate norm realizing the quotient remains open.
• Abstract（参考訳）: 情報距離と回路の複雑さはどちらも長さを最小化することで得られるが、異なる対象に対して最小化される。 我々は、忠実な1つのモードのガウス国家に対して、この区別を明確にする。 まず、不変形式一意性(invariant-form uniqueness)は、非コンパクトシンプレクティック群の完全随伴作用の下では、正定値二次ゲートコストが不変でないことを意味する。 ウルマン浄化商はビューズ計量を実現し、ラジアル共分散方向はシステムのみのガウスユニタリがウィリアムソン固有値を保持するため、システム-アンシラ結合を必要とする。 すると、最小二モードガウスゲート代数 \(\mathfrak{sp}(4,\mathbb R)\ 上の固定右不変二次ノルムを最小化する。 非重みのないフロベニウスノルムに対して、ラジアルとトレースレスの共分散接点の商係数は$G_0=[\hbar^2(u-1)]^{-1}$と$G_2=[\hbar^2(3u-1)]^{-1}$であり、$u=(2ν/\hbar)^2$である。 その比はバーズ比と等しくない。 しかし、放射係数は、正確に$u$毎のビューズ値を再現し、ミスマッチはトレースレスセクターに限られる。 より一般的に、ブロック対角二重スケジュールは$G_0/G_2=1+2(β/α)u/(u-1)$を与える。 Bures-Fisher 行列交差 \(u=\varphi\) において、点整合は$β/α=\varphi^{-1}$ を挿入することによってのみ可能である。 したがって、ビューズ浄化商は正確な状態幾何学的コストであるが、これは非重み付きシンプレクティックゲートコストでも、この固定された2重ニールセンファミリーのメンバーでもない。 商性を実現するより一般的な正の正のゲートノルムの存在は、依然として開である。

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